ГДЗ: Упражнение 726 - Параграф § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

726 упражнение:

Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа:

1) \( \sin \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{\pi}{9} \);

Ответ

Решение:

Шаг 1: Преобразуем \( \cos \frac{\pi}{9} \) с помощью формулы приведения.

Используем формулу \( \cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) \).

\( \cos \frac{\pi}{9} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}) = \sin (\frac{9\pi - 2\pi}{18}) = \sin \frac{7\pi}{18} \).

Сравнение сводится к \( \sin \frac{\pi}{9} \) и \( \sin \frac{7\pi}{18} \).

Шаг 2: Сравниваем синусы.

Оба угла \( \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18} \) и \( \frac{7\pi}{18} \) лежат на отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \).
На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
Сравниваем аргументы: \( \frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18} \).
Следовательно, \( \sin \frac{2\pi}{18} < \sin \frac{7\pi}{18} \), т.е. \( \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} \).

Ответ:

\( \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} \).

2) \( \sin \frac{9\pi}{8} \) и \( \cos \frac{9\pi}{8} \);

Ответ

Решение:

Шаг 1: Определяем четверть и знаки.

Угол \( \frac{9\pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8} \). Это III четверть (\( \pi < \frac{9\pi}{8} < \frac{3\pi}{2} \)).
В III четверти \( \sin x < 0 \) и \( \cos x < 0 \).

Шаг 2: Преобразуем \( \cos \frac{9\pi}{8} \) и сравниваем.

\( \cos \frac{9\pi}{8} = \cos (\pi + \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8} \).

\( \sin \frac{9\pi}{8} = \sin (\pi + \frac{\pi}{8}) = -\sin \frac{\pi}{8} \).

Сравнение \( \sin \frac{9\pi}{8} \) и \( \cos \frac{9\pi}{8} \) равносильно сравнению \( -\sin \frac{\pi}{8} \) и \( -\cos \frac{\pi}{8} \).

Умножим на \( -1 \) и поменяем знак неравенства: \( \sin \frac{\pi}{8} \) и \( \cos \frac{\pi}{8} \).

Так как \( \frac{\pi}{8} \in (0; \frac{\pi}{4}) \), и на этом интервале \( \sin x \) меньше \( \cos x \), то \( \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{\pi}{8} \).

Следовательно, \( -\sin \frac{\pi}{8} > -\cos \frac{\pi}{8} \), то есть \( \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} \).

Ответ:

\( \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} \).

3) \( \sin \frac{5\pi}{14} \) и \( \cos \frac{5\pi}{14} \);

Ответ

Решение:

Шаг 1: Преобразуем \( \cos \frac{5\pi}{14} \) с помощью формулы приведения.

\( \cos \frac{5\pi}{14} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \sin (\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \sin \frac{2\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7} \).

Сравнение сводится к \( \sin \frac{5\pi}{14} \) и \( \sin \frac{\pi}{7} \).

Шаг 2: Сравниваем синусы.

Оба угла \( \frac{5\pi}{14} \) и \( \frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{14} \) лежат на отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \).
На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
Сравниваем аргументы: \( \frac{5\pi}{14} > \frac{2\pi}{14} \).
Следовательно, \( \sin \frac{5\pi}{14} > \sin \frac{2\pi}{14} \), т.е. \( \sin \frac{5\pi}{14} > \cos \frac{5\pi}{14} \).

Ответ:

\( \sin \frac{5\pi}{14} > \cos \frac{5\pi}{14} \).

4) \( \sin \frac{3\pi}{8} \) и \( \cos \frac{3\pi}{10} \).

Ответ

Решение:

Шаг 1: Преобразуем \( \cos \frac{3\pi}{10} \) с помощью формулы приведения.

\( \cos \frac{3\pi}{10} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \sin (\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \sin \frac{2\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5} \).

Сравнение сводится к \( \sin \frac{3\pi}{8} \) и \( \sin \frac{\pi}{5} \).

Шаг 2: Сравниваем синусы.

Оба угла \( \frac{3\pi}{8} \) и \( \frac{\pi}{5} \) лежат на отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \).
На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
Сравниваем аргументы: \( \frac{3\pi}{8} \) и \( \frac{\pi}{5} \). Приведем к общему знаменателю: \( \frac{15\pi}{40} \) и \( \frac{8\pi}{40} \).
Так как \( \frac{15\pi}{40} > \frac{8\pi}{40} \), то \( \frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{5} \).
Следовательно, \( \sin \frac{3\pi}{8} > \sin \frac{\pi}{5} \), т.е. \( \sin \frac{3\pi}{8} > \cos \frac{3\pi}{10} \).

Ответ:

\( \sin \frac{3\pi}{8} > \cos \frac{3\pi}{10} \).

Что применять при решении

Определение синуса и график функции \( y = \sin x \)

Функция \( y = \sin x \) определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом \( 2\pi \). График функции \( y = \sin x \) называется синусоидой. Значения функции принадлежат отрезку \( [-1; 1] \).

\( \sin x = \sin (x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \)

Промежутки возрастания и убывания функции \( y = \sin x \)

Функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезках \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \) и убывает на отрезках \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Формулы приведения для синуса

Формулы, позволяющие свести нахождение синуса произвольного угла к нахождению синуса угла из промежутка \( [0; \frac{\pi}{2}] \). Например, \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \), \( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \).

\( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \)

Сравнение значений синуса

Если функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезке \( [a; b] \) и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 < \sin x_2 \). Если функция убывает и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 > \sin x_2 \).

Другие упражнения из параграфа § 41

720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 7
Параграф: § 41 — Свойства функции y = sin x и ее график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.