ГДЗ: Упражнение 724 - Параграф § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

724 упражнение:

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \):

1) \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \);

Ответ

Решение:

Шаг 1: Находим общее решение уравнения \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Общее решение имеет вид:

\( x = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

\( x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

Шаг 2: Находим корни, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

Перебираем значения \( k \in \mathbb{Z} \):

При \( k = 0 \): \( x = (-1)^0 \frac{\pi}{3} + 0 = \frac{\pi}{3} \). Проверяем: \( 0 \le \frac{\pi}{3} \le 3\pi \). Подходит.
При \( k = 1 \): \( x = (-1)^1 \frac{\pi}{3} + \pi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \). Проверяем: \( 0 \le \frac{2\pi}{3} \le 3\pi \). Подходит.
При \( k = 2 \): \( x = (-1)^2 \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \). Проверяем: \( 0 \le \frac{7\pi}{3} \le 3\pi \) (\( \frac{9\pi}{3} = 3\pi \)). Подходит.
При \( k = 3 \): \( x = (-1)^3 \frac{\pi}{3} + 3\pi = -\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3} \). Проверяем: \( 0 \le \frac{8\pi}{3} \le 3\pi \). Подходит.
При \( k = 4 \): \( x = (-1)^4 \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \). Проверяем: \( \frac{13\pi}{3} \approx 4.33\pi > 3\pi \). Не подходит.
При \( k = -1 \): \( x = (-1)^{-1} \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \). Не подходит, так как \( -\frac{4\pi}{3} < 0 \).

Ответ:

\( x \in \left\{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} \right\} \).

2) \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \);

Ответ

Решение:

Шаг 1: Находим общее решение уравнения \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Общее решение: \( x = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Находим корни, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \). Подходит (\( 0 \le \frac{\pi}{4} \le 3\pi \)).
При \( k = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \). Подходит.
При \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \). Подходит.
При \( k = 3 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4} \). Подходит.
При \( k = 4 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \approx 4.25\pi > 3\pi \). Не подходит.

Ответ:

\( x \in \left\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4} \right\} \).

3) \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \);

Ответ

Решение:

Шаг 1: Находим общее решение уравнения \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Общее решение: \( x = (-1)^k \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Находим корни, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

При \( k = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{4} \). Не подходит (\( < 0 \)).
При \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \). Подходит.
При \( k = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \). Подходит.
При \( k = 3 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4} \approx 3.25\pi > 3\pi \). Не подходит.

Корни можно также найти, используя формулы \( x = \pi + \arcsin |a| + 2\pi n \) и \( x = 2\pi - \arcsin |a| + 2\pi n \), где \( a = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( |a| = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \arcsin |a| = \frac{\pi}{4} \):

При \( n = 0 \): \( x_1 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \) и \( x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \).
При \( n = 1 \): \( x_3 = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} \). Не подходит.

Ответ:

\( x \in \left\{ \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right\} \).

4) \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ

Решение:

Шаг 1: Находим общее решение уравнения \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Общее решение: \( x = (-1)^k \arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Находим корни, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

Используем формулы \( x = \pi + \arcsin |a| + 2\pi n \) и \( x = 2\pi - \arcsin |a| + 2\pi n \), где \( \arcsin |a| = \frac{\pi}{3} \):

При \( n = 0 \): \( x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \) и \( x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \).
При \( n = 1 \): \( x_3 = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 3.33\pi > 3\pi \). Не подходит.

Ответ:

\( x \in \left\{ \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right\} \).

Что применять при решении

Определение синуса и график функции \( y = \sin x \)

Функция \( y = \sin x \) определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом \( 2\pi \). График функции \( y = \sin x \) называется синусоидой. Значения функции принадлежат отрезку \( [-1; 1] \).

\( \sin x = \sin (x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \)

Промежутки возрастания и убывания функции \( y = \sin x \)

Функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезках \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \) и убывает на отрезках \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Формулы приведения для синуса

Формулы, позволяющие свести нахождение синуса произвольного угла к нахождению синуса угла из промежутка \( [0; \frac{\pi}{2}] \). Например, \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \), \( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \).

\( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \)

Сравнение значений синуса

Если функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезке \( [a; b] \) и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 < \sin x_2 \). Если функция убывает и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 > \sin x_2 \).

Другие упражнения из параграфа § 41

720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 7
Параграф: § 41 — Свойства функции y = sin x и ее график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.