ГДЗ: Упражнение 725 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \):
1)
\( \sin x > \frac{1}{2} \);
Ответ
Решение:
Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = \frac{1}{2} \) на отрезке \( [0; 3\pi] \).
\( x_1 = \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x_2 = \pi - \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
На отрезке \( [0; 3\pi] \) корни: \( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \) (при \( k=0 \)) и \( \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \) (при \( k=1 \)).
Шаг 2: Определяем интервалы, где \( \sin x > \frac{1}{2} \).
На отрезке \( [0; 3\pi] \), график функции \( y = \sin x \) лежит выше прямой \( y = \frac{1}{2} \) в интервалах, начинающихся с наименьшего корня и заканчивающихся следующим наибольшим корнем:
Первый интервал: \( (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \).
Второй интервал: \( (\frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}) \).
Ответ:
\( x \in (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}) \).
2)
\( \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \);
Ответ
Решение:
Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) на отрезке \( [0; 3\pi] \).
Корни: \( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \) (при \( k=0 \)) и \( \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \) (при \( k=1 \)).
Шаг 2: Определяем интервалы, где \( \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \).
На отрезке \( [0; 3\pi] \), график функции \( y = \sin x \) лежит ниже или на прямой \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \) в интервалах, начинающихся с нуля или следующего наибольшего корня и заканчивающихся следующим наименьшим корнем или \( 3\pi \):
Первый интервал (от начала): \( [0; \frac{\pi}{4}] \).
Второй интервал (между корнями): \( [\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}] \).
Третий интервал (до конца): \( [\frac{11\pi}{4}; 3\pi] \).
На отрезке \( [0; 3\pi] \) \( \sin x = -1 \) только в точке \( x = \frac{3\pi}{2} \).
Шаг 2: Определяем интервалы, где \( \sin x > -1 \).
Поскольку область значений функции \( y = \sin x \) — это \( [-1; 1] \), неравенство \( \sin x > -1 \) выполняется всегда, кроме точек, где \( \sin x = -1 \).
На отрезке \( [0; 3\pi] \) это весь отрезок, кроме точки \( \frac{3\pi}{2} \).
Ответ:
\( x \in [0; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).
4)
\( \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Ответ
Решение:
Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) на отрезке \( [0; 3\pi] \).
Корни: \( \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \) (при \( k=0 \)) и \( \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi \) (не подходит).
На отрезке \( [0; 3\pi] \) корни: \( \frac{4\pi}{3} \) и \( \frac{5\pi}{3} \).
Шаг 2: Определяем интервалы, где \( \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
На отрезке \( [0; 3\pi] \), график функции \( y = \sin x \) лежит ниже прямой \( y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) только в интервале \( (\frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}) \).
Ответ:
\( x \in (\frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}) \).
Что применять при решении
Определение синуса и график функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом \( 2\pi \). График функции \( y = \sin x \) называется синусоидой. Значения функции принадлежат отрезку \( [-1; 1] \).
\( \sin x = \sin (x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \)
Промежутки возрастания и убывания функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезках \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \) и убывает на отрезках \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Если функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезке \( [a; b] \) и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 < \sin x_2 \). Если функция убывает и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 > \sin x_2 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
