ГДЗ: Упражнение 730 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Найти множество значений функции \( y = \sin x \), если \( x \) принадлежит промежутку:
1)
\( [\frac{\pi}{6}; \pi] \);
Ответ
Решение:
Шаг 1: Определяем поведение функции на промежутке \( [\frac{\pi}{6}; \pi] \).
На отрезке \( [\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
На отрезке \( [\frac{\pi}{2}; \pi] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
Шаг 2: Находим минимальное и максимальное значения.
Наибольшее значение достигается в точке максимума \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y_{\text{max}} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
Наименьшее значение достигается на границах: \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), \( \sin \pi = 0 \). Наименьшее из них: \( y_{\text{min}} = 0 \).
Множество значений — отрезок между минимальным и максимальным значениями.
Ответ:
\( E(y) = [0; 1] \).
2)
\( [\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}] \).
Ответ
Решение:
Шаг 1: Определяем поведение функции на промежутке \( [\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}] \).
Промежуток \( [\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}] \) содержит точку минимума \( x = \pi \).
На отрезке \( [\frac{3\pi}{4}; \pi] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
На отрезке \( [\pi; \frac{5\pi}{4}] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
Шаг 2: Находим минимальное и максимальное значения.
Наименьшее значение достигается в точке минимума: \( y_{\text{min}} = \sin \pi = 0 \). (Ошибка: \( x=\pi \) — ноль функции, а не минимум на этом отрезке).
Наименьшее значение достигается на концах отрезка. Сравниваем: \( \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Наименьшее значение: \( y_{\text{min}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Определение синуса и график функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом \( 2\pi \). График функции \( y = \sin x \) называется синусоидой. Значения функции принадлежат отрезку \( [-1; 1] \).
\( \sin x = \sin (x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \)
Промежутки возрастания и убывания функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезках \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \) и убывает на отрезках \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Если функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезке \( [a; b] \) и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 < \sin x_2 \). Если функция убывает и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 > \sin x_2 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
