ГДЗ: Упражнение 728 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Сделаем замену и определим интервал для новой переменной.

Пусть \( t = 2x \). Если \( x \in [-\frac{3\pi}{2}; \pi] \), то \( t \in [2 \cdot (-\frac{3\pi}{2}); 2 \cdot \pi] = [-3\pi; 2\pi] \).

Неравенство: \( \sin t \ge -\frac{1}{2} \).

Шаг 2: Находим корни уравнения \( \sin t = -\frac{1}{2} \) на отрезке \( [-3\pi; 2\pi] \).

Общее решение: \( t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Корни на \( [-3\pi; 2\pi] \): \( \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \), \( 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \), \( \pi + \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \), \( 2\pi - \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6} \), \( \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \), \( \frac{7\pi}{6} - 4\pi = -\frac{17\pi}{6} \), \( \frac{11\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6} \), \( -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \).

Упорядоченные корни на \( [-3\pi; 2\pi] \): \( -\frac{17\pi}{6}, -\frac{13\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \).

Шаг 3: Определяем интервалы, где \( \sin t \ge -\frac{1}{2} \).

Решение неравенства \( \sin t \ge -\frac{1}{2} \) на отрезке \( [-3\pi; 2\pi] \) — это объединение отрезков вида \( [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k] \):

• При \( k = -2 \): \( [-\frac{\pi}{6} - 4\pi; \frac{7\pi}{6} - 4\pi] = [-\frac{25\pi}{6}; -\frac{17\pi}{6}] \). Пересечение с \( [-3\pi; 2\pi] \) — только точка \( -\frac{17\pi}{6} \) не входит. Учитывая, что \( -3\pi = -\frac{18\pi}{6} \), то \( [ -\frac{17\pi}{6} ] \) не входит.
• При \( k = -1 \): \( [-\frac{\pi}{6} - 2\pi; \frac{7\pi}{6} - 2\pi] = [-\frac{13\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}] \).
• При \( k = 0 \): \( [-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}] \).
• При \( k = 1 \): \( [-\frac{\pi}{6} + 2\pi; \frac{7\pi}{6} + 2\pi] = [\frac{11\pi}{6}; \frac{19\pi}{6}] \). Пересечение с \( [-3\pi; 2\pi] \) — \( [\frac{11\pi}{6}; 2\pi] \).

Объединение интервалов для \( t \in [-3\pi; 2\pi] \): \( [-3\pi; -\frac{17\pi}{6}] \cup [-\frac{13\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}] \cup [-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}; 2\pi] \).

Шаг 4: Возвращаемся к \( x \).

\( x = \frac{t}{2} \). Делим концы всех интервалов на 2:

\( [-\frac{3\pi}{2}; -\frac{17\pi}{12}] \cup [-\frac{13\pi}{12}; -\frac{5\pi}{12}] \cup [-\frac{\pi}{12}; \frac{7\pi}{12}] \cup [\frac{11\pi}{12}; \pi] \).

\( x \in [-\frac{3\pi}{2}; -\frac{17\pi}{12}] \cup [-\frac{13\pi}{12}; -\frac{5\pi}{12}] \cup [-\frac{\pi}{12}; \frac{7\pi}{12}] \cup [\frac{11\pi}{12}; \pi] \).

Шаг 1: Сделаем замену и определим интервал для новой переменной.

Пусть \( t = 3x \). Если \( x \in [-\frac{3\pi}{2}; \pi] \), то \( t \in [3 \cdot (-\frac{3\pi}{2}); 3 \cdot \pi] = [-\frac{9\pi}{2}; 3\pi] \).

Неравенство: \( \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Шаг 2: Находим корни уравнения \( \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} \) на отрезке \( [-\frac{9\pi}{2}; 3\pi] \).

Общее решение: \( t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и \( t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Корни на \( [-\frac{9\pi}{2}; 3\pi] \): \( \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{11\pi}{3}, -\frac{10\pi}{3} \).

Упорядоченные корни: \( -\frac{11\pi}{3}, -\frac{10\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} \).

Шаг 3: Определяем интервалы, где \( \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Решение неравенства \( \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} \) на отрезке \( [-\frac{9\pi}{2}; 3\pi] \) — это объединение отрезков, которые не являются интервалами вида \( (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) \):

\( [-\frac{9\pi}{2}; -\frac{11\pi}{3}) \cup (-\frac{10\pi}{3}; -\frac{5\pi}{3}) \cup (-\frac{4\pi}{3}; \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}) \cup (\frac{8\pi}{3}; 3\pi] \).

Шаг 4: Возвращаемся к \( x \).

\( x = \frac{t}{3} \). Делим концы всех интервалов на 3:

\( [-\frac{3\pi}{2}; -\frac{11\pi}{9}) \cup (-\frac{10\pi}{9}; -\frac{5\pi}{9}) \cup (-\frac{4\pi}{9}; \frac{\pi}{9}) \cup (\frac{2\pi}{9}; \frac{7\pi}{9}) \cup (\frac{8\pi}{9}; \pi] \).

\( x \in [-\frac{3\pi}{2}; -\frac{11\pi}{9}) \cup (-\frac{10\pi}{9}; -\frac{5\pi}{9}) \cup (-\frac{4\pi}{9}; \frac{\pi}{9}) \cup (\frac{2\pi}{9}; \frac{7\pi}{9}) \cup (\frac{8\pi}{9}; \pi] \).