ГДЗ: Упражнение 729 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

График функции \( y = 1 - \sin x \) получается из графика \( y = \sin x \) путем: 1) отражения относительно оси \( Ox \) (получаем \( y = -\sin x \)), 2) сдвига вверх на 1 единицу (получаем \( y = 1 - \sin x \)).

Свойства функции \( y = 1 - \sin x \):

• 1. Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \) (\( \mathbb{R} \)).
• 2. Область значений: Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), то \( -1 \le -\sin x \le 1 \). Тогда \( 1 - 1 \le 1 - \sin x \le 1 + 1 \). \( 0 \le y \le 2 \). \( E(y) = [0; 2] \).
• 3. Периодичность: Функция периодическая с периодом \( T = 2\pi \), так как \( 1 - \sin (x + 2\pi) = 1 - \sin x \).
• 4. Четность/Нечетность: \( y(-x) = 1 - \sin (-x) = 1 + \sin x \). Так как \( y(-x) \ne y(x) \) и \( y(-x) \ne -y(x) \), функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• 5. Нули функции: \( 1 - \sin x = 0 \implies \sin x = 1 \). \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
• 6. Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает там, где \( \sin x \) убывает: \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \).
  • Функция убывает там, где \( \sin x \) возрастает: \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \).

График функции \( y = 2 + \sin x \) получается из графика \( y = \sin x \) путем сдвига вверх на 2 единицы.

Свойства функции \( y = 2 + \sin x \):

• 1. Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \).
• 2. Область значений: Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), то \( 2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1 \). \( 1 \le y \le 3 \). \( E(y) = [1; 3] \).
• 3. Периодичность: Функция периодическая с периодом \( T = 2\pi \).
• 4. Четность/Нечетность: \( y(-x) = 2 + \sin (-x) = 2 - \sin x \). Функция общего вида.
• 5. Нули функции: \( 2 + \sin x = 0 \implies \sin x = -2 \). Уравнение не имеет решений, нулей нет.
• 6. Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает там, где \( \sin x \) возрастает: \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \).
  • Функция убывает там, где \( \sin x \) убывает: \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \).

График функции \( y = \sin 3x \) получается из графика \( y = \sin x \) путем сжатия к оси \( Oy \) в 3 раза.

Свойства функции \( y = \sin 3x \):

• 1. Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \).
• 2. Область значений: \( E(y) = [-1; 1] \).
• 3. Периодичность: Функция периодическая с периодом \( T = \frac{2\pi}{3} \).
• 4. Четность/Нечетность: \( y(-x) = \sin (3(-x)) = -\sin 3x = -y(x) \). Функция нечетная.
• 5. Нули функции: \( \sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k \). \( x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} \).
• 6. Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает: \( [-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}] \).
  • Функция убывает: \( [\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}] \).

График функции \( y = 2 \sin x \) получается из графика \( y = \sin x \) путем растяжения от оси \( Ox \) в 2 раза.

Свойства функции \( y = 2 \sin x \):

• 1. Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \).
• 2. Область значений: Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), то \( -2 \le 2 \sin x \le 2 \). \( E(y) = [-2; 2] \).
• 3. Периодичность: Функция периодическая с периодом \( T = 2\pi \).
• 4. Четность/Нечетность: \( y(-x) = 2 \sin (-x) = -2 \sin x = -y(x) \). Функция нечетная.
• 5. Нули функции: \( 2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0 \). \( x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
• 6. Промежутки монотонности: Совпадают с \( y = \sin x \).
  • Функция возрастает: \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \).
  • Функция убывает: \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \).