ГДЗ: Упражнение 787 - Параграф § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

787 упражнение:

Найти производную функции (787–792).

1) \( x^6 \)

Ответ

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = 6 \).

Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^6 \):
\( f'(x) = (x^6)' = 6 \cdot x^{6-1} \).

Шаг 2: Упростим степень:
\( f'(x) = 6 x^5 \).

Ответ: \( 6 x^5 \)

2) \( x^7 \)

Ответ

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = 7 \).

Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^7 \):
\( f'(x) = (x^7)' = 7 \cdot x^{7-1} \).

Шаг 2: Упростим степень:
\( f'(x) = 7 x^6 \).

Ответ: \( 7 x^6 \)

3) \( x^{11} \)

Ответ

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = 11 \).

Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{11} \):
\( f'(x) = (x^{11})' = 11 \cdot x^{11-1} \).

Шаг 2: Упростим степень:
\( f'(x) = 11 x^{10} \).

Ответ: \( 11 x^{10} \)

4) \( x^{13} \)

Ответ

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = 13 \).

Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{13} \):
\( f'(x) = (x^{13})' = 13 \cdot x^{13-1} \).

Шаг 2: Упростим степень:
\( f'(x) = 13 x^{12} \).

Ответ: \( 13 x^{12} \)

Что применять при решении

Производная степенной функции

Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).

\( (x^r)' = r x^{r-1} \)

Производная сложной функции

Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).

\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Производная суммы/разности функций

Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.

\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)

Производная произведения функции на константу

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

\( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

Другие упражнения из параграфа § 45

787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 8
Параграф: § 45 — Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.