Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \sqrt[3]{4x} = (4x)^{\frac{1}{3}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^{\frac{1}{3}} \) и внутренняя \( g(x) = 4x \).
Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \): \( f'(u) = (u^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}} \).
Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \): \( g'(x) = (4x)' = 4 \).
Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \): \( f'(x) = \frac{1}{3} (4x)^{- \frac{2}{3}} \cdot 4 \).
Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \sqrt[4]{5x} = (5x)^{\frac{1}{4}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^{\frac{1}{4}} \) и внутренняя \( g(x) = 5x \).
Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \): \( f'(u) = (u^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4} u^{- \frac{3}{4}} \).
Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \): \( g'(x) = (5x)' = 5 \).
Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \): \( f'(x) = \frac{1}{4} (5x)^{- \frac{3}{4}} \cdot 5 \).
Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
\( (x^r)' = r x^{r-1} \)
Производная сложной функции
Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Производная суммы/разности функций
Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
Производная произведения функции на константу
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
