На рисунке 107 изображён график производной одной из функций \( y = x^3 \) или \( y = x^2 \). Установить функцию.
1)
Ответ
Требуется сравнить график на рисунке 107 с графиками производных функций \( y = x^3 \) и \( y = x^2 \).
Шаг 1: Найдем производные обеих функций:
Для \( y = x^3 \): \( y' = (x^3)' = 3 x^{3-1} = 3 x^2 \).
Для \( y = x^2 \): \( y' = (x^2)' = 2 x^{2-1} = 2 x \).
Шаг 2: Анализируем график на рисунке 107:
График представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат \( (0, 0) \). Он проходит через точки, например, \( (1, 3) \) и \( (-1, 3) \).
Шаг 3: Сравниваем с производными:
График \( y' = 2x \) — это прямая, а не парабола.
График \( y' = 3x^2 \) — это парабола, ветви которой направлены вверх, и вершина в \( (0, 0) \). Проверим точки: при \( x = 1 \), \( y' = 3(1)^2 = 3 \). Точка \( (1, 3) \) лежит на графике. При \( x = -1 \), \( y' = 3(-1)^2 = 3 \). Точка \( (-1, 3) \) лежит на графике.
График на рисунке 107 соответствует функции \( y' = 3x^2 \).
Вывод: График на рисунке 107 является производной функции \( \mathbf{y = x^3} \).
Ответ: \( y = x^3 \)
Что применять при решении
Производная степенной функции
Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
\( (x^r)' = r x^{r-1} \)
Производная сложной функции
Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Производная суммы/разности функций
Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
Производная произведения функции на константу
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
