ГДЗ: Упражнение 789 - Параграф § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

789 упражнение:

Найти производную функции (787–792).

1) \( \frac{1}{x^5} \)

Ответ

Сначала представим функцию в виде степени с отрицательным показателем: \( f(x) = \frac{1}{x^5} = x^{-5} \). Теперь используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = -5 \).

Шаг 1: Найдем производную \( x^{-5} \):
\( f'(x) = (x^{-5})' = (-5) \cdot x^{-5-1} \).

Шаг 2: Упростим степень:
\( f'(x) = -5 x^{-6} \).

Шаг 3: Представим в виде дроби:
\( f'(x) = - \frac{5}{x^6} \).

Ответ: \( -5 x^{-6} \) или \( - \frac{5}{x^6} \)

2) \( 2x^3 \)

Ответ

Используем формулу производной произведения функции на константу \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \) и производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( c = 2 \) и \( r = 3 \).

Шаг 1: Вынесем константу и найдем производную \( x^3 \):
\( f'(x) = (2x^3)' = 2 \cdot (x^3)' = 2 \cdot 3 \cdot x^{3-1} \).

Шаг 2: Выполним умножение и упростим степень:
\( f'(x) = 6 x^2 \).

Ответ: \( 6 x^2 \)

3) \( 3x^7 \)

Ответ

Используем формулу производной произведения функции на константу \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \) и производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( c = 3 \) и \( r = 7 \).

Шаг 1: Вынесем константу и найдем производную \( x^7 \):
\( f'(x) = (3x^7)' = 3 \cdot (x^7)' = 3 \cdot 7 \cdot x^{7-1} \).

Шаг 2: Выполним умножение и упростим степень:
\( f'(x) = 21 x^6 \).

Ответ: \( 21 x^6 \)

4) \( \sqrt[3]{x} \)

Ответ

Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \). Теперь используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = \frac{1}{3} \).

Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{\frac{1}{3}} \):
\( f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} \).

Шаг 2: Упростим степень: \( \frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3} \).
\( f'(x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \).

Шаг 3: Представим в виде корня:
\( f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} \).

Ответ: \( \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \) или \( \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} \)

Что применять при решении

Производная степенной функции

Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).

\( (x^r)' = r x^{r-1} \)

Производная сложной функции

Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).

\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Производная суммы/разности функций

Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.

\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)

Производная произведения функции на константу

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

\( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

Другие упражнения из параграфа § 45

787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 8
Параграф: § 45 — Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.