ГДЗ: Упражнение 793 - Параграф § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1) \( f(x) = x^6, x_0 = 1 \)

Ответ

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = 6 \). Затем подставим значение \( x_0 \).

Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = x^6 \):
\( f'(x) = (x^6)' = 6 x^{6-1} = 6 x^5 \).

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
\( f'(1) = 6 \cdot (1)^5 = 6 \cdot 1 = 6 \).

Ответ: \( 6 \)

2) \( f(x) = x^5, x_0 = 3 \)

Ответ

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = 5 \). Затем подставим значение \( x_0 \).

Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = x^5 \):
\( f'(x) = (x^5)' = 5 x^{5-1} = 5 x^4 \).

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 3 \):
\( f'(3) = 5 \cdot (3)^4 = 5 \cdot 81 = 405 \).

Ответ: \( 405 \)

3) \( f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 4 \)

Ответ

Представим функцию как \( f(x) = x^{\frac{1}{2}} \). Используем формулу \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = \frac{1}{2} \). Затем подставим значение \( x_0 \).

Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = x^{\frac{1}{2}} \):
\( f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \).

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 4 \):
\( f'(4) = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \).

Ответ: \( \frac{1}{4} \)

4) \( f(x) = \sqrt[3]{x}, x_0 = 8 \)

Ответ

Представим функцию как \( f(x) = x^{\frac{1}{3}} \). Используем формулу \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = \frac{1}{3} \). Затем подставим значение \( x_0 \).

Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = x^{\frac{1}{3}} \):
\( f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} \).

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 8 \):
\( f'(8) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12} \).

Ответ: \( \frac{1}{12} \)

5) \( f(x) = \sqrt{5 - 4x}, x_0 = 1 \)

Ответ

Представим функцию как \( f(x) = (5 - 4x)^{\frac{1}{2}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = (5 - 4x)^{\frac{1}{2}} \):
\( f'(x) = \frac{1}{2} (5 - 4x)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (5 - 4x)' = \frac{1}{2} (5 - 4x)^{- \frac{1}{2}} \cdot (-4) = -2 (5 - 4x)^{- \frac{1}{2}} = - \frac{2}{\sqrt{5 - 4x}} \).

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
\( f'(1) = - \frac{2}{\sqrt{5 - 4 \cdot 1}} = - \frac{2}{\sqrt{1}} = - \frac{2}{1} = -2 \).

Ответ: \( -2 \)

6) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}, x_0 = 1 \)

Ответ

Представим функцию как \( f(x) = (3x + 1)^{- \frac{1}{2}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = (3x + 1)^{- \frac{1}{2}} \):
\( f'(x) = - \frac{1}{2} (3x + 1)^{- \frac{1}{2} - 1} \cdot (3x + 1)' = - \frac{1}{2} (3x + 1)^{- \frac{3}{2}} \cdot 3 = - \frac{3}{2} (3x + 1)^{- \frac{3}{2}} \).

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
\( f'(1) = - \frac{3}{2} (3 \cdot 1 + 1)^{- \frac{3}{2}} = - \frac{3}{2} (4)^{- \frac{3}{2}} \).

Шаг 3: Упрощаем: \( (4)^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{4})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \).
\( f'(1) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} = - \frac{3}{16} \).

Ответ: \( - \frac{3}{16} \)

793 упражнение:

Что применять при решении

Производная степенной функции

Производная сложной функции

Производная суммы/разности функций

Производная произведения функции на константу

Другие упражнения из параграфа § 45

Данные параграфа

Уведомление об авторском праве и цитировании