ГДЗ: Упражнение 796 - Параграф § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1) \( (2 + 3x)^2 \)

Ответ

Используем правило производной сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Внешняя функция \( f(u) = u^2 \), внутренняя \( g(x) = 2 + 3x \).

Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = 2u \), \( g'(x) = (2 + 3x)' = 3 \).

Шаг 2: Составляем производную:
\( f'(x) = 2(2 + 3x) \cdot 3 \).

Шаг 3: Упрощаем:
\( f'(x) = 6(2 + 3x) = 12 + 18x \).

Ответ: \( 6(2 + 3x) \) или \( 12 + 18x \)

2) \( \frac{1}{(3 - 2x)^3} \)

Ответ

Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (3 - 2x)^{-3} \). Используем правило производной сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Внешняя функция \( f(u) = u^{-3} \), внутренняя \( g(x) = 3 - 2x \).

Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = -3u^{-4} \), \( g'(x) = (3 - 2x)' = -2 \).

Шаг 2: Составляем производную:
\( f'(x) = -3(3 - 2x)^{-4} \cdot (-2) \).

Шаг 3: Упрощаем:
\( f'(x) = 6(3 - 2x)^{-4} \).

Ответ: \( 6(3 - 2x)^{-4} \) или \( \frac{6}{(3 - 2x)^4} \)

3) \( \frac{1}{\sqrt[3]{(3x - 2)^2}} \)

Ответ

Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (3x - 2)^{- \frac{2}{3}} \). Используем правило производной сложной функции. Внешняя функция \( f(u) = u^{- \frac{2}{3}} \), внутренняя \( g(x) = 3x - 2 \).

Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = - \frac{2}{3} u^{- \frac{5}{3}} \), \( g'(x) = (3x - 2)' = 3 \).

Шаг 2: Составляем производную:
\( f'(x) = - \frac{2}{3} (3x - 2)^{- \frac{5}{3}} \cdot 3 \).

Шаг 3: Упрощаем:
\( f'(x) = -2 (3x - 2)^{- \frac{5}{3}} \).

Ответ: \( -2 (3x - 2)^{- \frac{5}{3}} \) или \( - \frac{2}{\sqrt[3]{(3x - 2)^5}} \)

4) \( \frac{1}{(3 - 14x)^2} \)

Ответ

Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (3 - 14x)^{-2} \). Используем правило производной сложной функции. Внешняя функция \( f(u) = u^{-2} \), внутренняя \( g(x) = 3 - 14x \).

Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = -2u^{-3} \), \( g'(x) = (3 - 14x)' = -14 \).

Шаг 2: Составляем производную:
\( f'(x) = -2(3 - 14x)^{-3} \cdot (-14) \).

Шаг 3: Упрощаем:
\( f'(x) = 28 (3 - 14x)^{-3} \).

Ответ: \( 28 (3 - 14x)^{-3} \) или \( \frac{28}{(3 - 14x)^3} \)

5) \( \frac{1}{\sqrt[3]{3x - 7}} \)

Ответ

Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (3x - 7)^{- \frac{1}{3}} \). Используем правило производной сложной функции. Внешняя функция \( f(u) = u^{- \frac{1}{3}} \), внутренняя \( g(x) = 3x - 7 \).

Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = - \frac{1}{3} u^{- \frac{4}{3}} \), \( g'(x) = (3x - 7)' = 3 \).

Шаг 2: Составляем производную:
\( f'(x) = - \frac{1}{3} (3x - 7)^{- \frac{4}{3}} \cdot 3 \).

Шаг 3: Упрощаем:
\( f'(x) = - (3x - 7)^{- \frac{4}{3}} \).

Ответ: \( - (3x - 7)^{- \frac{4}{3}} \) или \( - \frac{1}{\sqrt[3]{(3x - 7)^4}} \)

6) \( \frac{1}{\sqrt[4]{(1 - 2x)^3}} \)

Ответ

Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (1 - 2x)^{- \frac{3}{4}} \). Используем правило производной сложной функции. Внешняя функция \( f(u) = u^{- \frac{3}{4}} \), внутренняя \( g(x) = 1 - 2x \).

Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = - \frac{3}{4} u^{- \frac{7}{4}} \), \( g'(x) = (1 - 2x)' = -2 \).

Шаг 2: Составляем производную:
\( f'(x) = - \frac{3}{4} (1 - 2x)^{- \frac{7}{4}} \cdot (-2) \).

Шаг 3: Упрощаем:
\( f'(x) = \frac{6}{4} (1 - 2x)^{- \frac{7}{4}} = \frac{3}{2} (1 - 2x)^{- \frac{7}{4}} \).

Ответ: \( \frac{3}{2} (1 - 2x)^{- \frac{7}{4}} \) или \( \frac{3}{2 \sqrt[4]{(1 - 2x)^7}} \)

796 упражнение:

Что применять при решении

Производная степенной функции

Производная сложной функции

Производная суммы/разности функций

Производная произведения функции на константу

Другие упражнения из параграфа § 45

Данные параграфа

Уведомление об авторском праве и цитировании