По данным на рисунке 108 графиков квадратичной функции написать формулы, задающие саму функцию и её производную.
1)
Ответ
На рисунке 108 а) изображен график функции \( y = f(x) \), а на рисунке 108 б) — график функции \( y = g(x) \), являющейся ее производной \( g(x) = f'(x) \).
Шаг 1: Определяем формулу квадратичной функции \( y = f(x) \) (рис. 108а):
График — парабола. Вершина параболы \( (x_в, y_в) \) находится в точке \( (0, -2) \).
Общая формула параболы с вершиной в \( (x_в, y_в) \): \( y = a(x - x_в)^2 + y_в \).
Найдем коэффициент \( a \) по другой точке. Парабола проходит через точки \( (1, -1) \) и \( (-1, -1) \). Подставим \( (1, -1) \): \( -1 = a (1)^2 - 2 \implies -1 = a - 2 \implies a = 1 \).
График \( y = 2x \) — прямая, проходящая через \( (0, 0) \).
Проверим точки: \( (1, 2) \) и \( (-1, -2) \). График на рис. 108б проходит через эти точки.
Ответ: Функция \( f(x) = x^2 - 2 \) и ее производная \( f'(x) = 2x \)
Что применять при решении
Производная степенной функции
Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
\( (x^r)' = r x^{r-1} \)
Производная сложной функции
Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Производная суммы/разности функций
Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
Производная произведения функции на константу
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
