Построить график функции \( y = x^4 \) и график функции, являющейся её производной.
1)
Ответ
Шаг 1: Находим производную функции \( y = x^4 \): Производная находится по формуле \( (x^r)' = r x^{r-1} \): \( y' = (x^4)' = 4 x^{4-1} = 4 x^3 \).
Функция: \( y = x^4 \). Это четная функция, график — парабола 4-го порядка, симметричная относительно оси \( Oy \), с вершиной в точке \( (0, 0) \).
Производная функция: \( y' = 4 x^3 \). Это нечетная функция, график — кубическая парабола, проходящая через начало координат.
Шаг 2: Строим графики.
График \( y = x^4 \): проходит через точки \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), \( (-1, 1) \), \( (2, 16) \), \( (-2, 16) \). График более "плоский" вблизи \( (0, 0) \) по сравнению с \( y=x^2 \).
График \( y' = 4 x^3 \): проходит через точки \( (0, 0) \), \( (1, 4) \), \( (-1, -4) \).
Пояснение: Для \( x < 0 \), \( y = x^4 \) убывает, и \( y' = 4x^3 \) отрицательна. При \( x \to 0 \), \( y' \to 0 \), что соответствует горизонтальной касательной в вершине параболы. Для \( x > 0 \), \( y = x^4 \) возрастает, и \( y' = 4x^3 \) положительна.
Что применять при решении
Производная степенной функции
Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
\( (x^r)' = r x^{r-1} \)
Производная сложной функции
Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Производная суммы/разности функций
Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
Производная произведения функции на константу
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
