ГДЗ: Упражнение 788 - Параграф § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

788 упражнение:

Найти производную функции (787–792).

1) \( x^{-2} \)

Ответ

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = -2 \).

Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{-2} \):
\( f'(x) = (x^{-2})' = (-2) \cdot x^{-2-1} \).

Шаг 2: Упростим степень:
\( f'(x) = -2 x^{-3} \).

Шаг 3: Представим в виде дроби (необязательно, но желательно):
\( f'(x) = - \frac{2}{x^3} \).

Ответ: \( -2 x^{-3} \) или \( - \frac{2}{x^3} \)

2) \( x^{-3} \)

Ответ

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = -3 \).

Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{-3} \):
\( f'(x) = (x^{-3})' = (-3) \cdot x^{-3-1} \).

Шаг 2: Упростим степень:
\( f'(x) = -3 x^{-4} \).

Шаг 3: Представим в виде дроби (необязательно, но желательно):
\( f'(x) = - \frac{3}{x^4} \).

Ответ: \( -3 x^{-4} \) или \( - \frac{3}{x^4} \)

3) \( 3x^{-4} \)

Ответ

Используем формулу производной произведения функции на константу \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \) и производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( c = 3 \) и \( r = -4 \).

Шаг 1: Вынесем константу и найдем производную \( x^{-4} \):
\( f'(x) = (3x^{-4})' = 3 \cdot (x^{-4})' = 3 \cdot (-4) \cdot x^{-4-1} \).

Шаг 2: Выполним умножение и упростим степень:
\( f'(x) = -12 x^{-5} \).

Шаг 3: Представим в виде дроби:
\( f'(x) = - \frac{12}{x^5} \).

Ответ: \( -12 x^{-5} \) или \( - \frac{12}{x^5} \)

4) \( x^{-7} \)

Ответ

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = -7 \).

Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{-7} \):
\( f'(x) = (x^{-7})' = (-7) \cdot x^{-7-1} \).

Шаг 2: Упростим степень:
\( f'(x) = -7 x^{-8} \).

Шаг 3: Представим в виде дроби:
\( f'(x) = - \frac{7}{x^8} \).

Ответ: \( -7 x^{-8} \) или \( - \frac{7}{x^8} \)

Что применять при решении

Производная степенной функции

Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).

\( (x^r)' = r x^{r-1} \)

Производная сложной функции

Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).

\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Производная суммы/разности функций

Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.

\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)

Производная произведения функции на константу

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

\( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

Другие упражнения из параграфа § 45

787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 8
Параграф: § 45 — Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.