1. Мама снова вздыхала и уходила (грустно уходила на кухню). И соединяет однородные сказуемые, запятой нет. Полный текст: «Мама снова вздыхала и грустно уходила на кухню».
2. Настоящий же берег Северной Двины был напротив, и на нём раскинулось большое старинное село Холмогоры. Две основы: берег был напротив; село раскинулось. Перед и запятая между частями сложного предложения.
3. День был ясен и свеж. Северный ветер гнал отрывистые тучки по голубым сводам неба, и вершины лесов шумели, подобно водопаду, качаясь взад и вперёд. В первом предложении и соединяет однородные именные части сказуемого, во втором — предикативные части. Взад и вперёд — однородные обстоятельства при деепричастии; одиночное и без запятой. Подобно водопаду — сравнительное обстоятельство; качаясь взад и вперёд — обособленный деепричастный оборот, подчёркивается штрихпунктиром.
4. Паучок старается, и сеть получается от его старания красивой кружевной. И соединяет части сложного предложения, нужна запятая. Красивой кружевной в авторском тексте характеризует красоту и кружевной вид, допускает отсутствие запятой как неоднородные признаки; при перечислительной интонации возможна «красивой, кружевной».
Корни с названными безударными гласными (выделены скобками): у[ход]ила (хо́дит); [берег] (е во втором слоге, бе́рег — берега́ для первой гласной); [север]ной (вторая е); на[стоящ]ий (связь со стоять, словарное современное значение); рас[кин]улось (ки́нуть); [больш]ое (бо́льше); [стар]инное (ста́рый); [сел]о (сёла); Холмо[гор]ы (го́ры; собственное имя проверяется также словарём); от[рыв]истые — безударное ы не входит в данный перечень; [голуб]ым — безударные о, словарное; [верш]ины — верше́к; [лес]ов — лес; [подоб]но — подо́бный (первая о словарная); [вод]о[пад]у — во́ды, па́дать; [кач]аясь — ка́чка; [пауч]ок — па́ук; [стара]ется, [стара]ния — ста́раться; [крас]ивой — кра́сный в историческом значении красивый, современное написание проверяют словарём; [круж]евной — кру́жево. Соединительная о в водопаду не является частью корня и отдельно отмечается как соединительная гласная. Возможны различия границ корня в школьных словарях.
Старается²: корень -стара-, окончание -ет, постфикс -ся; основа стара…ся (прерывистая, окончание не входит). Начальная форма стараться; суффикс инфинитива -ть в личной форме отсутствует. В анализе, выделяющем -стар- и глагольный суффикс -а-, следует последовательно сохранять тот же принцип для старание и старательный; это вариант морфемной детализации.