1. Хотя я нрава от природы тихого, но нетерпение вновь увидеть места, где провёл я лучшие свои годы, так сильно овладело мной, что я поминутно погонял моего ямщика… Хотя — уступительный союз, но — соотносительный противительный элемент; где — союзное слово в придаточном определительном к места; что — подчинительный союз степени/следствия при соотносительном так. Части: (Хотя я нрава тихого), [нетерпение овладело], (где провёл я…), (что я погонял…). Порядок вложенности: придаточное где находится внутри главной части.
2. Она была далеко не красавица, хотя черты её были довольно правильны. Хотя присоединяет уступительную часть. Далеко не усиливает отрицание, не раздельно.
3. Но проходило несколько минут, и Ленка осторожно открывала один глаз, убирала ладонь с другого, и перед нею оказывалось бабушкино лицо. И связывают три предикативные части (проходило несколько минут; Ленка открывала, убирала; лицо оказывалось); между однородными открывала, убирала запятая без союза.
4. Она мило успокоилась, как будто действительно маленький ребёнок мог что-то ей обещать. Как будто — сравнительный подчинительный союз; основы она успокоилась, ребёнок мог обещать.
5. Марья Ивановна вынула из кармана сложенную бумагу и подала её незнакомой своей покровительнице, которая стала читать её про себя. И соединяет однородные сказуемые, запятой нет. Которая — союзное слово, местоимение-подлежащее придаточного определительного; его нельзя объявить союзом только из-за функции связи.
Нет e рпение — слитное существительное со значением состояния; несколько — неопределённое местоименное числительное, слитно; сложенную — нн полного причастия; незнакомой — слитно без противопоставления, «неизвестной»; что-то — дефис.
Вновь³: наречие со значением повторности, неизменяемое; обстоятельство при увидеть. Ей³: личное местоимение, начальная форма она; 3-е лицо, женский род; ед. ч., Д. п.; дополнение при обещать. Незнакомой³: имя прилагательное, начальная форма незнакомый; качественное, полная форма, положительная степень, женский род, ед. ч., Д. п.; согласованное определение к покровительнице.
Пунктуационный анализ № 5 (помета 6): запятая перед которая отделяет придаточное определительное от главной части; перед одиночным и между вынула и подала запятая не нужна; сложенную бумагу — одиночное причастие до определяемого слова без обособления. Схема: [подлежащее + сказуемое и сказуемое + определяемое существительное], (которая…).