ГДЗ: Упражнение 56 - Параграф § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

56 упражнение:

(Устно.) Представить в виде корня из степени с целым показателем:

1) \( x^{\frac{2}{3}} \)

Ответ

Используем определение степени с рациональным показателем: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \).

Шаг 1: Определяем числитель \( m=2 \) (показатель подкоренного выражения) и знаменатель \( n=3 \) (показатель корня).
Шаг 2: Записываем выражение в виде корня.

Решение: \( x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} \)

Ответ: \( \sqrt[3]{x^2} \)

2) \( a^{\frac{2}{5}} \)

Ответ

Используем определение степени с рациональным показателем: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \).

Шаг 1: Определяем числитель \( m=2 \) и знаменатель \( n=5 \).
Шаг 2: Записываем выражение в виде корня.

Решение: \( a^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{a^2} \)

Ответ: \( \sqrt[5]{a^2} \)

3) \( b^{-\frac{4}{3}} \)

Ответ

Используем определение степени с рациональным показателем: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \).

Шаг 1: Определяем числитель \( m=-4 \) и знаменатель \( n=3 \).
Шаг 2: Записываем выражение в виде корня.

Решение: \( b^{-\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{b^{-4}} \)

Ответ: \( \sqrt[3]{b^{-4}} \)

4) \( (2x)^{\frac{5}{2}} \)

Ответ

Используем определение степени с рациональным показателем: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \).

Шаг 1: Определяем числитель \( m=5 \) и знаменатель \( n=2 \).
Шаг 2: Записываем выражение в виде корня.

Решение: \( (2x)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(2x)^5} = \sqrt{(2x)^5} \)

Ответ: \( \sqrt{(2x)^5} \)

5) \( (2x^2)^{\frac{1}{3}} \)

Ответ

Используем определение степени с рациональным показателем: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \).

Шаг 1: Определяем числитель \( m=1 \) и знаменатель \( n=3 \).
Шаг 2: Записываем выражение в виде корня.

Решение: \( (2x^2)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(2x^2)^1} = \sqrt[3]{2x^2} \)

Ответ: \( \sqrt[3]{2x^2} \)

6) \( (3b)^{\frac{2}{3}} \)

Ответ

Используем определение степени с рациональным показателем: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \).

Шаг 1: Определяем числитель \( m=2 \) и знаменатель \( n=3 \).
Шаг 2: Записываем выражение в виде корня.

Решение: \( (3b)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(3b)^2} \)

Ответ: \( \sqrt[3]{(3b)^2} \)

Что применять при решении

Определение степени с рациональным показателем

Если \( a > 0 \), \( m \) - целое число, а \( n \) - натуральное число (\( n \ge 2 \)), то степень \( a^{\frac{m}{n}} \) определяется как \( \sqrt[n]{a^m} \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных показателей \( p \) и \( q \) и любых положительных чисел \( a \) и \( b \) выполняются свойства степеней:

\( a^p \cdot a^q = a^{p+q}; \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}; \quad (a^p)^q = a^{pq}; \quad (ab)^p = a^p b^p; \quad \left( \frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p} \)

Формулы разности квадратов и разности кубов

Для разложения выражений на множители используются формулы сокращенного умножения, применимые и для рациональных показателей:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b); \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2); \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Сравнение степеней

Если \( a > 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Если \( 0 < a < 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} > a^{x_2} \).

\( \text{Если } a > 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}; \quad \text{Если } 0 < a < 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2} \)

Другие упражнения из параграфа § 5

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: § 5 — Степень с рациональным и действительным показателями
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.