ГДЗ: Упражнение 74 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

• Шаг 1: Сложим показатели.

Решение: \( a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + (1-\sqrt{2})} = a^{1} = a \)

Ответ: \( a \)

Это выражение нельзя упростить, так как основания разные (2 и \( a \)), а показатели - иррациональные числа. Возможно, в учебнике опечатка, и основание \( a=2 \), либо \( a \) - основание другой степени.

Предположим, что основание \( a=2 \): \( 2^{\sqrt{3}-1} \cdot 2^{\sqrt{3}+1} \).

• Шаг 1: Сложим показатели: \( (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3} \).

Решение (полагая опечатку): \( 2^{\sqrt{3}-1} \cdot 2^{\sqrt{3}+1} = 2^{(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)} = 2^{2\sqrt{3}} \)

Ответ (полагая опечатку): \( 2^{2\sqrt{3}} \)

Используем свойства \((a^p)^q = a^{pq}\) и \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

• Шаг 1: Упростим первый множитель: \( (b^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = b^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = b^3 \).
• Шаг 2: Умножим на \( b^{\sqrt{2}} \).

Решение: \( (b^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} \cdot b^{\sqrt{2}} = b^3 \cdot b^{\sqrt{2}} = b^{3 + \sqrt{2}} \)

Ответ: \( b^{3 + \sqrt{2}} \)