ГДЗ: Упражнение 64 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем формулу разности квадратов \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \). Представим исходное выражение как разность квадратов.

• Шаг 1: Заметим, что \( a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 \) и \( b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2 \).
• Шаг 2: Применим формулу разности квадратов.

Решение:
\( a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) (a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}) \).
Альтернативное толкование, разложение \( a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} \) как \( A-B \) с целью представления \( A \) и \( B \) в виде квадратов других выражений, не применимо. Задача требует разложить само выражение как разность квадратов. В этом случае, если \( a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} \) — это разность квадратов, то это, вероятно, подразумевает разложение \( a^2 - b^2 \) с подстановкой \( a = x \) и \( b = y \) и последующим использованием \( x - y \) как разности квадратов.
Скорее всего, здесь ошибка в задании или опечатка, и имелось в виду разложить \( a^1 - b^1 \) или \( a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} \) является промежуточным шагом.
Если же считать, что задано разложить \( a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} \) (разность первой степени), то это не разность квадратов, но ее можно разложить, как разность корней:
\( a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \) (Не разлагается по формуле разности квадратов)

Примем, что задание подразумевает разложение выражения в виде \( A - B \) по формуле \( A^2 - B^2 \).

Если: \( A^2 = a^{\frac{1}{2}} \), то \( A = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}} \).
Если: \( B^2 = b^{\frac{1}{2}} \), то \( B = (b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{4}} \).
\( a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) (a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}) \)

Ответ: \( (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) (a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}) \)

Используем формулу разности квадратов \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \).

• Шаг 1: Представим выражение как разность квадратов: \( y^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{1}{3}})^2 \) и \( 1 = 1^2 \).
• Шаг 2: Применим формулу разности квадратов.

Решение: \( y^{\frac{2}{3}} - 1 = (y^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2 = (y^{\frac{1}{3}} - 1) (y^{\frac{1}{3}} + 1) \)

Ответ: \( (y^{\frac{1}{3}} - 1) (y^{\frac{1}{3}} + 1) \)

Используем формулу разности квадратов \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \). Это выражение нельзя представить как разность квадратов с рациональными показателями. Возможно, здесь опечатка, и должно было быть \( a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}} \) или \( a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} \) с другой формулой.
Если бы это было \( a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}} \), то: \( (a^{\frac{1}{5}} - b^{\frac{1}{5}}) (a^{\frac{1}{5}} + b^{\frac{1}{5}}) \).
Если же придерживаться строго исходного выражения, то его можно разложить по формуле разности кубов: \( A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) \), но это не по условию.

Примем, что задание подразумевает разложение, которое может быть представлено в виде разности квадратов, несмотря на ошибочный показатель.
Поскольку задание явно требует использования формулы разности квадратов, мы вынуждены переформулировать выражение. Но, если разложить его по аналогии с первым пунктом:
Если: \( A^2 = a^{\frac{3}{5}} \), то \( A = (a^{\frac{3}{5}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{10}} \).
Если: \( B^2 = b^{\frac{3}{5}} \), то \( B = (b^{\frac{3}{5}})^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{3}{10}} \).
\( a^{\frac{3}{5}} - b^{\frac{3}{5}} = (a^{\frac{3}{10}})^2 - (b^{\frac{3}{10}})^2 = (a^{\frac{3}{10}} - b^{\frac{3}{10}}) (a^{\frac{3}{10}} + b^{\frac{3}{10}}) \)

Ответ: \( (a^{\frac{3}{10}} - b^{\frac{3}{10}}) (a^{\frac{3}{10}} + b^{\frac{3}{10}}) \)