ГДЗ: Упражнение 72 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило сравнения степеней: если основание \( a > 1 \), то больше та степень, у которой больше показатель.

• Шаг 1: Сравним основания. \( 3 > 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатели: \( \sqrt{71} \) и \( \sqrt{69} \).

Решение:
Основание \( a=3 > 1 \).
Сравним показатели: \( 71 > 69 \implies \sqrt{71} > \sqrt{69} \).
Поскольку \( 3 > 1 \) и \( \sqrt{71} > \sqrt{69} \), то \( 3^{\sqrt{71}} > 3^{\sqrt{69}} \).

Ответ: \( 3^{\sqrt{71}} \) больше, чем \( 3^{\sqrt{69}} \)

Используем правило сравнения степеней: если основание \( 0 < a < 1 \), то больше та степень, у которой меньше показатель.

• Шаг 1: Сравним основания. \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатели: \( \sqrt{2} \) и \( \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Решение:
Основание \( a=\frac{1}{3} \) лежит в интервале \( (0, 1) \).
Сравним показатели: \( \sqrt{2} = 1,414... \). \( \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707... \).
\( \sqrt{2} > \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Поскольку \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), то больше та степень, у которой меньше показатель.
\( \sqrt{2} > \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{2}} < \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \).

Ответ: \( \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \) больше, чем \( \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{2}} \)

Используем правило сравнения степеней: если основание \( a > 1 \), то больше та степень, у которой больше показатель.

• Шаг 1: Сравним основания. \( 4 > 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатели: \( -\sqrt{3} \) и \( -\sqrt{2} \).

Решение:
Основание \( a=4 > 1 \).
Сравним показатели: \( \sqrt{3} \approx 1,732 \), \( \sqrt{2} \approx 1,414 \).
\( \sqrt{3} > \sqrt{2} \implies -\sqrt{3} < -\sqrt{2} \).
Поскольку \( 4 > 1 \) и \( -\sqrt{3} < -\sqrt{2} \), то \( 4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}} \).

Ответ: \( 4^{-\sqrt{2}} \) больше, чем \( 4^{-\sqrt{3}} \)

Используем правило сравнения степеней: если основание \( a > 1 \), то больше та степень, у которой больше показатель.

• Шаг 1: Сравним основания. \( 2 > 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатели: \( \sqrt{3} \) и \( 1,7 \).

Решение:
Основание \( a=2 > 1 \).
Сравним показатели:
\( (\sqrt{3})^2 = 3 \).
\( (1,7)^2 = 2,89 \).
Поскольку \( 3 > 2,89 \), то \( \sqrt{3} > 1,7 \).
Поскольку \( 2 > 1 \) и \( \sqrt{3} > 1,7 \), то \( 2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7} \).

Ответ: \( 2^{\sqrt{3}} \) больше, чем \( 2^{1,7} \)

Используем правило сравнения степеней: если основание \( 0 < a < 1 \), то больше та степень, у которой меньше показатель.

• Шаг 1: Сравним основания. \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатели: \( 1,4 \) и \( \sqrt{2} \).

Решение:
Основание \( a=\frac{1}{2} \) лежит в интервале \( (0, 1) \).
Сравним показатели:
\( (1,4)^2 = 1,96 \).
\( (\sqrt{2})^2 = 2 \).
Поскольку \( 1,96 < 2 \), то \( 1,4 < \sqrt{2} \).
Поскольку \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \) и \( 1,4 < \sqrt{2} \), то \( (\frac{1}{2})^{1,4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} \).

Ответ: \( (\frac{1}{2})^{1,4} \) больше, чем \( (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} \)

Используем правило сравнения степеней: если основание \( 0 < a < 1 \), то больше та степень, у которой меньше показатель.

• Шаг 1: Сравним основания. \( 0 < \frac{1}{9} < 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатели: \( \pi \) и \( 3,14 \).

Решение:
Основание \( a=\frac{1}{9} \) лежит в интервале \( (0, 1) \).
Сравним показатели:
\( \pi \approx 3,14159... \).
\( 3,14 \).
Поскольку \( \pi > 3,14 \).
Поскольку \( 0 < \frac{1}{9} < 1 \) и \( \pi > 3,14 \), то \( (\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3,14} \).

Ответ: \( (\frac{1}{9})^{3,14} \) больше, чем \( (\frac{1}{9})^{\pi} \)