ГДЗ: Упражнение 62 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем определение \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \) и свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

• Шаг 1: Представим корень в виде степени.
• Шаг 2: Сложим показатели.

Решение: \( a^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3+2}{6}} = a^{\frac{5}{6}} \)

Ответ: \( a^{\frac{5}{6}} \)

Используем определение \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \) и свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

• Шаг 1: Представим корень в виде степени.
• Шаг 2: Сложим показатели.

Решение: \( b^{\frac{2}{5}} \cdot b^{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt[5]{b^3} = b^{\frac{2}{5}} \cdot b^{\frac{1}{5}} \cdot b^{\frac{3}{5}} = b^{\frac{2}{5} + \frac{1}{5} + \frac{3}{5}} = b^{\frac{2+1+3}{5}} = b^{\frac{6}{5}} \)

Ответ: \( b^{\frac{6}{5}} \)

Используем определение \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \) и свойство \( a^p \div a^q = a^{p-q} \).

• Шаг 1: Представим корни в виде степеней.
• Шаг 2: Вычтем показатели.

Решение: \( \sqrt[3]{b} \div \sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{3}} \div b^{\frac{1}{4}} = b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} = b^{\frac{4-3}{12}} = b^{\frac{1}{12}} \)

Ответ: \( b^{\frac{1}{12}} \)

Используем определение \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \) и свойство \( a^p \div a^q = a^{p-q} \).

• Шаг 1: Представим корень в виде степени.
• Шаг 2: Вычтем показатели.

Решение: \( a^{\frac{3}{4}} \div \sqrt[5]{a^2} = a^{\frac{3}{4}} \div a^{\frac{2}{5}} = a^{\frac{3}{4} - \frac{2}{5}} = a^{\frac{15-8}{20}} = a^{\frac{7}{20}} \)

Ответ: \( a^{\frac{7}{20}} \)

Используем определение \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \) и свойства степеней.

• Шаг 1: Представим корень в виде степени и десятичные показатели как обыкновенные дроби (или оставим десятичными, так как они удобны для сложения/вычитания).
• Шаг 2: Упростим выражение, сложив и вычтя показатели.

Решение: \( x^{1,7} \cdot x^{2,8} \div \sqrt[5]{x^2} = x^{1,7} \cdot x^{2,8} \div x^{\frac{2}{5}} \).
\( \frac{2}{5} = 0,4 \).
\( x^{1,7} \cdot x^{2,8} \div x^{0,4} = x^{1,7 + 2,8 - 0,4} = x^{4,5 - 0,4} = x^{4,1} \)

Ответ: \( x^{4,1} \)

Используем определение \( \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}} = y^{0,5} \) и свойства степеней.

• Шаг 1: Представим корень в виде степени.
• Шаг 2: Упростим выражение, сложив и вычтя показатели.

Решение: \( y^{-3,8} \div y^{-2,3} \cdot \sqrt{y} = y^{-3,8} \div y^{-2,3} \cdot y^{0,5} = y^{-3,8 - (-2,3) + 0,5} = y^{-3,8 + 2,3 + 0,5} = y^{-1,5 + 0,5} = y^{-1} \)

Ответ: \( y^{-1} \)