ГДЗ: Упражнение 60 - Параграф § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

60 упражнение:

Вычислить:

1) \( \left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75} + \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} \)

Ответ

Используем свойство \( a^{-p} = \frac{1}{a^p} \) и \((a^p)^q = a^{pq}\).

Шаг 1: Преобразуем отрицательные показатели в положительные и десятичный показатель в дробь.
Шаг 2: Представим основания как степени числа 2.
Шаг 3: Применим свойства степеней и выполним сложение.

Решение:
\( -0,75 = -\frac{3}{4} \).
\( \left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75} = \left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \).
\( \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2 \).
\( \left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75} + \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} = 8 + 2 = 10 \)

Ответ: \( 10 \)

2) \( (0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}} \)

Ответ

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и применим свойства степеней.

Шаг 1: Преобразуем основания и показатели.
Шаг 2: Применим свойства степеней.
Шаг 3: Выполним вычитание.

Решение:
\( 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2} \). \( 1,5 = \frac{3}{2} \).
\( (0,04)^{-1,5} = \left( \frac{1}{25} \right)^{-\frac{3}{2}} = 25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125 \).
\( 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \).
\( (0,125)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \).
\( (0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}} = 125 - 4 = 121 \)

Ответ: \( 121 \)

3) \( 8^{\frac{9}{7}} \cdot 8^{-\frac{2}{7}} \cdot 35^0 \)

Ответ

Используем свойства степеней: \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \) и \( a^0 = 1 \).

Шаг 1: Упростим произведение степеней с одинаковым основанием.
Шаг 2: Учтем, что \( 35^0 = 1 \).

Решение:
\( 8^{\frac{9}{7}} \cdot 8^{-\frac{2}{7}} \cdot 35^0 = 8^{\frac{9}{7} + (-\frac{2}{7})} \cdot 1 = 8^{\frac{9-2}{7}} \cdot 1 = 8^{\frac{7}{7}} = 8^1 = 8 \)

Ответ: \( 8 \)

4) \( \left( 5^{\frac{5}{4}} \right)^4 + (0,2)^{-2} \)

Ответ

Используем свойства степеней: \((a^p)^q = a^{pq}\) и \( a^{-p} = \frac{1}{a^p} \).

Шаг 1: Упростим первое слагаемое.
Шаг 2: Преобразуем второе слагаемое: \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).
Шаг 3: Выполним сложение.

Решение:
\( \left( 5^{\frac{5}{4}} \right)^4 = 5^{\frac{5}{4} \cdot 4} = 5^5 = 3125 \).
\( (0,2)^{-2} = \left( \frac{1}{5} \right)^{-2} = 5^2 = 25 \).
\( \left( 5^{\frac{5}{4}} \right)^4 + (0,2)^{-2} = 3125 + 25 = 3150 \)

Ответ: \( 3150 \)

Что применять при решении

Определение степени с рациональным показателем

Если \( a > 0 \), \( m \) - целое число, а \( n \) - натуральное число (\( n \ge 2 \)), то степень \( a^{\frac{m}{n}} \) определяется как \( \sqrt[n]{a^m} \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных показателей \( p \) и \( q \) и любых положительных чисел \( a \) и \( b \) выполняются свойства степеней:

\( a^p \cdot a^q = a^{p+q}; \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}; \quad (a^p)^q = a^{pq}; \quad (ab)^p = a^p b^p; \quad \left( \frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p} \)

Формулы разности квадратов и разности кубов

Для разложения выражений на множители используются формулы сокращенного умножения, применимые и для рациональных показателей:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b); \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2); \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Сравнение степеней

Если \( a > 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Если \( 0 < a < 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} > a^{x_2} \).

\( \text{Если } a > 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}; \quad \text{Если } 0 < a < 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2} \)

Другие упражнения из параграфа § 5

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: § 5 — Степень с рациональным и действительным показателями
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.