ГДЗ: Упражнение 59 - Параграф § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

59 упражнение:

Вычислить:

1) \( 9^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} \)

Ответ

Используем свойство \((ab)^p = a^p b^p\), то есть \( a^p b^p = (ab)^p \), и свойство \((a^p)^q = a^{pq}\).

Шаг 1: Объединим множители под общим показателем.
Шаг 2: Умножим основания и вычислим.

Решение: \( 9^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} = (9 \cdot 27)^{\frac{1}{3}} = (243)^{\frac{1}{3}} \) (Это не упрощается до целого числа. Проверим другой способ)
Используем приведение к основанию \( 3 \):

\( 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \)
\( 27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^1 = 3 \)

\( 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3 = 3^{1 + \frac{2}{3}} = 3^{\frac{5}{3}} \). (Оставим так, так как нет ошибки в расчетах).
Возможно, имелось в виду \( 9^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \) (см. упр. 58, п. 3). Если же задача записана правильно, то:
\( 9^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{9 \cdot 27} = \sqrt[3]{243} = \sqrt[3]{81 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^5} = 3 \cdot \sqrt[3]{3^2} = 3 \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{5}{3}} \)

Ответ: \( 3^{\frac{5}{3}} \)

2) \( 7^{\frac{3}{4}} \cdot 49^{\frac{3}{4}} \)

Ответ

Используем свойство \( a^p b^p = (ab)^p \).

Шаг 1: Объединим множители под общим показателем.
Шаг 2: Умножим основания и вычислим.

Решение: \( 7^{\frac{3}{4}} \cdot 49^{\frac{3}{4}} = (7 \cdot 49)^{\frac{3}{4}} = (343)^{\frac{3}{4}} \).
Представим \( 343 \) как степень \( 7^3 \):
\( (7^3)^{\frac{3}{4}} = 7^{3 \cdot \frac{3}{4}} = 7^{\frac{9}{4}} \)

Ответ: \( 7^{\frac{9}{4}} \)

3) \( 144^{\frac{1}{4}} \cdot 9^{\frac{1}{4}} \)

Ответ

Используем свойство \( a^p b^p = (ab)^p \).

Шаг 1: Объединим множители под общим показателем.
Шаг 2: Умножим основания и вычислим корень.

Решение: \( 144^{\frac{1}{4}} \cdot 9^{\frac{1}{4}} = (144 \cdot 9)^{\frac{1}{4}} = (1296)^{\frac{1}{4}} \).
Разложим \( 1296 \) на множители: \( 1296 = 6^4 \).
\( (6^4)^{\frac{1}{4}} = 6^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 6^1 = 6 \)

Ответ: \( 6 \)

4) \( 150^{\frac{2}{3}} \div 6^{\frac{2}{3}} \)

Ответ

Используем свойство \( a^p \div b^p = \left( \frac{a}{b} \right)^p \).

Шаг 1: Объединим числитель и знаменатель под общим показателем.
Шаг 2: Разделим основания и вычислим.

Решение: \( 150^{\frac{2}{3}} \div 6^{\frac{2}{3}} = \left( \frac{150}{6} \right)^{\frac{2}{3}} = (25)^{\frac{2}{3}} \).
Представим \( 25 \) как степень \( 5^2 \):
\( (5^2)^{\frac{2}{3}} = 5^{2 \cdot \frac{2}{3}} = 5^{\frac{4}{3}} \)

Ответ: \( 5^{\frac{4}{3}} \)

Что применять при решении

Определение степени с рациональным показателем

Если \( a > 0 \), \( m \) - целое число, а \( n \) - натуральное число (\( n \ge 2 \)), то степень \( a^{\frac{m}{n}} \) определяется как \( \sqrt[n]{a^m} \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных показателей \( p \) и \( q \) и любых положительных чисел \( a \) и \( b \) выполняются свойства степеней:

\( a^p \cdot a^q = a^{p+q}; \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}; \quad (a^p)^q = a^{pq}; \quad (ab)^p = a^p b^p; \quad \left( \frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p} \)

Формулы разности квадратов и разности кубов

Для разложения выражений на множители используются формулы сокращенного умножения, применимые и для рациональных показателей:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b); \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2); \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Сравнение степеней

Если \( a > 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Если \( 0 < a < 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} > a^{x_2} \).

\( \text{Если } a > 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}; \quad \text{Если } 0 < a < 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2} \)

Другие упражнения из параграфа § 5

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: § 5 — Степень с рациональным и действительным показателями
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.