ГДЗ: Упражнение 61 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем определение степени с рациональным показателем \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \) и свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

• Шаг 1: Представим корни в виде степеней с рациональным показателем и упростим произведение.
• Шаг 2: Подставим значение \( a=0,09 \) и вычислим.

Решение:
\( \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a} = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} = a^{\frac{5+3}{15}} = a^{\frac{8}{15}} \).
При \( a = 0,09 \):
\( 0,09 = \frac{9}{100} = (0,3)^2 \).
\( a^{\frac{8}{15}} = (0,09)^{\frac{8}{15}} = \left( (0,3)^2 \right)^{\frac{8}{15}} = (0,3)^{2 \cdot \frac{8}{15}} = (0,3)^{\frac{16}{15}} \).
Если же \( a=0,09 \) подставить в упрощенное выражение \( a^{\frac{8}{15}} \) (упрощение должно происходить до подстановки), то получим:
\( (0,09)^{\frac{8}{15}} \)

Ответ: \( (0,09)^{\frac{8}{15}} \) или \( (0,3)^{\frac{16}{15}} \)

Используем определение степени с рациональным показателем и свойство \( a^p \div a^q = a^{p-q} \).

• Шаг 1: Представим корни в виде степеней с рациональным показателем и упростим частное.
• Шаг 2: Подставим значение \( b=27 \) и вычислим.

Решение:
\( \sqrt{b} \div \sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{2}} \div b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{3}{6} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{2}{6}} = b^{\frac{1}{3}} \).
При \( b = 27 \):
\( b^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3 \)

Ответ: \( 3 \)

Сначала преобразуем подкоренное выражение, используя степени с рациональным показателем.

• Шаг 1: Преобразуем внутренний корень: \( \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} \).
• Шаг 2: Упростим произведение под корнем: \( b \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{1 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{3}{2}} \).
• Шаг 3: Применим внешний корень, используя свойство \((a^p)^q = a^{pq}\).
• Шаг 4: Подставим значение \( b=1,3 \).

Решение:
\( \sqrt[6]{b \sqrt{b}} = \sqrt[6]{b \cdot b^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[6]{b^{\frac{3}{2}}} = (b^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6}} = b^{\frac{3}{12}} = b^{\frac{1}{4}} \).
При \( b = 1,3 \):
\( b^{\frac{1}{4}} = (1,3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1,3} \)

Ответ: \( \sqrt[4]{1,3} \)

Представим все корни в виде степеней с рациональным показателем и применим свойства степеней.

• Шаг 1: Представим корни в виде степеней.
• Шаг 2: Упростим выражение, сложив и вычтя показатели.
• Шаг 3: Подставим значение \( a=2,7 \).

Решение:
\( \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \div \sqrt[12]{a^5} = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}} \div a^{\frac{5}{12}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{5}{12}} \).
Приведем показатели к общему знаменателю \( 12 \):
\( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} - \frac{5}{12} = \frac{4+3-5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
Упрощенное выражение: \( a^{\frac{1}{6}} \).
При \( a = 2,7 \):
\( a^{\frac{1}{6}} = (2,7)^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{2,7} \)

Ответ: \( \sqrt[6]{2,7} \)