ГДЗ: Упражнение 70 - Параграф § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

70 упражнение:

Вычислить:

1) \( 2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}} \)

Ответ

Приведем все основания к числу 2: \( 4 = 2^2 \).

Шаг 1: Представим \( 4^{\sqrt{2}} = (2^2)^{\sqrt{2}} = 2^{2\sqrt{2}} \).
Шаг 2: Применим свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

Решение: \( 2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}} = 2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 2^{2\sqrt{2}} = 2^{(1-2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}} = 2^1 = 2 \)

Ответ: \( 2 \)

2) \( 3^{2\sqrt{2}} \div 3^{\sqrt{8}} \cdot 27^{-\sqrt{2}} \)

Ответ

Приведем все основания к числу 3. Упростим иррациональные показатели: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \), \( 27 = 3^3 \).

Шаг 1: Преобразуем степени:
\( 3^{\sqrt{8}} = 3^{2\sqrt{2}} \).
\( 27^{-\sqrt{2}} = (3^3)^{-\sqrt{2}} = 3^{-3\sqrt{2}} \).
Шаг 2: Применим свойства степеней \( a^p \div a^q = a^{p-q} \) и \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

Решение:
\( 3^{2\sqrt{2}} \div 3^{2\sqrt{2}} \cdot 3^{-3\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + (-3\sqrt{2})} = 3^{-3\sqrt{2}} \)

Ответ: \( 3^{-3\sqrt{2}} \) или \( \frac{1}{3^{3\sqrt{2}}} \)

3) \( 4^{3\sqrt{2}} \cdot 3^{\sqrt{3}} \cdot 3^{-2\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} \)

Ответ

Упростим произведение степеней с одинаковым основанием. Приведем 4 к основанию 2.

Шаг 1: Упростим степени с основанием 3.
Шаг 2: Преобразуем степень с основанием 4: \( 4^{3\sqrt{2}} = (2^2)^{3\sqrt{2}} = 2^{6\sqrt{2}} \).

Решение:
\( 4^{3\sqrt{2}} \cdot 3^{\sqrt{3}} \cdot 3^{-2\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} = 4^{3\sqrt{2}} \cdot 3^{\sqrt{3} + (-2\sqrt{3}) + \sqrt{3}} = 4^{3\sqrt{2}} \cdot 3^0 = 4^{3\sqrt{2}} \cdot 1 = 4^{3\sqrt{2}} \).
Или \( 2^{6\sqrt{2}} \)

Ответ: \( 4^{3\sqrt{2}} \) или \( 2^{6\sqrt{2}} \)

4) \( 2^{\sqrt{2}} \cdot 4^{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}} \div 2^{-4\sqrt{2}} \)

Ответ

Приведем все основания к числу 2: \( 4 = 2^2 \).

Шаг 1: Преобразуем степень с основанием 4:
\( 4^{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}} = (2^2)^{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}} = 2^{2(1-\frac{1}{2}\sqrt{2})} = 2^{2-\sqrt{2}} \).
Шаг 2: Применим свойства степеней.

Решение:
\( 2^{\sqrt{2}} \cdot 2^{2-\sqrt{2}} \div 2^{-4\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) - (-4\sqrt{2})} = 2^{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 4\sqrt{2}} = 2^{2 + 4\sqrt{2}} \)

Ответ: \( 2^{2 + 4\sqrt{2}} \)

Что применять при решении

Определение степени с рациональным показателем

Если \( a > 0 \), \( m \) - целое число, а \( n \) - натуральное число (\( n \ge 2 \)), то степень \( a^{\frac{m}{n}} \) определяется как \( \sqrt[n]{a^m} \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных показателей \( p \) и \( q \) и любых положительных чисел \( a \) и \( b \) выполняются свойства степеней:

\( a^p \cdot a^q = a^{p+q}; \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}; \quad (a^p)^q = a^{pq}; \quad (ab)^p = a^p b^p; \quad \left( \frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p} \)

Формулы разности квадратов и разности кубов

Для разложения выражений на множители используются формулы сокращенного умножения, применимые и для рациональных показателей:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b); \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2); \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Сравнение степеней

Если \( a > 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Если \( 0 < a < 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} > a^{x_2} \).

\( \text{Если } a > 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}; \quad \text{Если } 0 < a < 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2} \)

Другие упражнения из параграфа § 5

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: § 5 — Степень с рациональным и действительным показателями
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.