ГДЗ: Упражнение 68 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \) для степеней с основанием 2. Представим \( \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \).
Видимо, в учебнике опечатка и должно быть \( 2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}} \)

• Шаг 1: Применим свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

Решение (полагая опечатку):
\( 2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{5} + (-\sqrt{5})} = 2^0 = 1 \)

Ответ (полагая опечатку): \( 1 \)

Приведем все основания к числу 3: \( 9 = 3^2 \).

• Шаг 1: Представим \( 9^{\sqrt{2}} = (3^2)^{\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2}} \).
• Шаг 2: Применим свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

Решение: \( 3^{\sqrt{2}} \cdot 9^{\sqrt{2}} = 3^{\sqrt{2}} \cdot 3^{2\sqrt{2}} = 3^{\sqrt{2} + 2\sqrt{2}} = 3^{3\sqrt{2}} \)

Ответ: \( 3^{3\sqrt{2}} \)

Используем свойства \((ab)^p = a^p b^p\) и \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

• Шаг 1: Раскроем скобки: \( (5 \sqrt{3})^{\sqrt{3}} = 5^{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt{3})^{\sqrt{3}} \).
• Шаг 2: Умножим на \( 5^{-\sqrt{3}} \).

Решение:
\( (5 \sqrt{3})^{\sqrt{3}} \cdot 5^{-\sqrt{3}} = 5^{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt{3})^{\sqrt{3}} \cdot 5^{-\sqrt{3}} = 5^{\sqrt{3} - \sqrt{3}} \cdot (\sqrt{3})^{\sqrt{3}} = 5^0 \cdot (\sqrt{3})^{\sqrt{3}} = 1 \cdot (\sqrt{3})^{\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^{\sqrt{3}} \)

Ответ: \( (\sqrt{3})^{\sqrt{3}} \) или \( 3^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)

Используем свойство \((a^p)^q = a^{pq}\) и упростим показатель.

• Шаг 1: Умножим показатели: \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \).
• Шаг 2: Вычислим степень.

Решение: \( ((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}} = (0,5)^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} = (0,5)^{\sqrt{16}} = (0,5)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16} \)

Ответ: \( \frac{1}{16} \)