ГДЗ: Упражнение 63 - Параграф § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

63 упражнение:

Вынести общий множитель за скобки:

1) \( x^{\frac{1}{2}} + x \)

Ответ

Представим \( x \) как \( x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \). Общий множитель - это степень с наименьшим показателем.

Шаг 1: Представим \( x \) как \( x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \).
Шаг 2: Вынесем наименьшую степень \( x^{\frac{1}{2}} \) за скобки.

Решение: \( x^{\frac{1}{2}} + x = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) \)

Ответ: \( x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) \) или \( x^{\frac{1}{2}} (1 + \sqrt{x}) \)

2) \( (ab)^{\frac{2}{3}} + (ac)^{\frac{2}{3}} \)

Ответ

Используем свойство \((ab)^p = a^p b^p\). Общий множитель - это \( a^{\frac{2}{3}} \).

Шаг 1: Применим свойство \((xy)^p = x^p y^p\).
Шаг 2: Вынесем общий множитель \( a^{\frac{2}{3}} \) за скобки.

Решение: \( (ab)^{\frac{2}{3}} + (ac)^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}} c^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} (b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{2}{3}}) \)

Ответ: \( a^{\frac{2}{3}} (b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{2}{3}}) \)

3) \( y^{\frac{1}{3}} - y^{-\frac{1}{3}} \)

Ответ

Общий множитель - степень с наименьшим показателем, то есть \( y^{-\frac{1}{3}} \).

Шаг 1: Вынесем \( y^{-\frac{1}{3}} \) за скобки.
Шаг 2: Определим оставшиеся показатели: \( \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \).

Решение: \( y^{\frac{1}{3}} - y^{-\frac{1}{3}} = y^{-\frac{1}{3}} (y^{\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})} - 1) = y^{-\frac{1}{3}} (y^{\frac{2}{3}} - 1) \)

Ответ: \( y^{-\frac{1}{3}} (y^{\frac{2}{3}} - 1) \)

4) \( 12xy^{\frac{1}{2}} - 3x^2 y^{\frac{1}{2}} \)

Ответ

Общий множитель включает наибольший общий делитель коэффициентов (\( 3 \)) и переменные с наименьшими показателями (\( x^1 \) и \( y^{\frac{1}{2}} \)). Общий множитель: \( 3xy^{\frac{1}{2}} \).

Шаг 1: Определим общий множитель.
Шаг 2: Вынесем \( 3xy^{\frac{1}{2}} \) за скобки.

Решение: \( 12xy^{\frac{1}{2}} - 3x^2 y^{\frac{1}{2}} = 3xy^{\frac{1}{2}} (\frac{12xy^{\frac{1}{2}}}{3xy^{\frac{1}{2}}} - \frac{3x^2 y^{\frac{1}{2}}}{3xy^{\frac{1}{2}}}) = 3xy^{\frac{1}{2}} (4 - x) \)

Ответ: \( 3xy^{\frac{1}{2}} (4 - x) \)

Что применять при решении

Определение степени с рациональным показателем

Если \( a > 0 \), \( m \) - целое число, а \( n \) - натуральное число (\( n \ge 2 \)), то степень \( a^{\frac{m}{n}} \) определяется как \( \sqrt[n]{a^m} \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных показателей \( p \) и \( q \) и любых положительных чисел \( a \) и \( b \) выполняются свойства степеней:

\( a^p \cdot a^q = a^{p+q}; \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}; \quad (a^p)^q = a^{pq}; \quad (ab)^p = a^p b^p; \quad \left( \frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p} \)

Формулы разности квадратов и разности кубов

Для разложения выражений на множители используются формулы сокращенного умножения, применимые и для рациональных показателей:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b); \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2); \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Сравнение степеней

Если \( a > 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Если \( 0 < a < 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} > a^{x_2} \).

\( \text{Если } a > 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}; \quad \text{Если } 0 < a < 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2} \)

Другие упражнения из параграфа § 5

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: § 5 — Степень с рациональным и действительным показателями
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.