ГДЗ: Упражнение 58 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

• Шаг 1: Сложим показатели степеней.
• Шаг 2: Упростим и вычислим.

Решение: \( 2^{\frac{4}{11}} \cdot 2^{\frac{2}{11}} \cdot 2^{\frac{5}{11}} = 2^{\frac{4}{11} + \frac{2}{11} + \frac{5}{11}} = 2^{\frac{4+2+5}{11}} = 2^{\frac{11}{11}} = 2^1 = 2 \)

Ответ: \( 2 \)

Используем свойства степеней: \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \) и \( a^p \div a^q = a^{p-q} \).

• Шаг 1: Преобразуем смешанные дроби в неправильные: \( 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \), \( 3\frac{2}{3} = \frac{11}{3} \).
• Шаг 2: Применим свойства степеней, сложив и вычтя показатели.

Решение: \( 5^{\frac{7}{3}} \cdot 5^{\frac{11}{3}} \div 5^5 = 5^{\frac{7}{3} + \frac{11}{3} - 5} = 5^{\frac{18}{3} - 5} = 5^{6 - 5} = 5^1 = 5 \)

Ответ: \( 5 \)

Приведем все основания к степени числа \( 3 \): \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \).

• Шаг 1: Представим основания как степени числа 3.
• Шаг 2: Применим свойство \((a^p)^q = a^{pq}\).
• Шаг 3: Применим свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

Решение:

• \( 9^{\frac{2}{5}} = (3^2)^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{4}{5}} \)
• \( 27^{\frac{1}{5}} = (3^3)^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{3}{5}} \)

Ответ: \( 3^{\frac{9}{5}} \) (или \( 3^{1\frac{4}{5}} \), или \( \sqrt[5]{3^9} \))

Приведем все основания к степени числа \( 2 \): \( 4 = 2^2 \), \( 8 = 2^3 \), \( 16 = 2^4 \).

• Шаг 1: Представим основания как степени числа 2.
• Шаг 2: Применим свойства степеней.

Решение:

• \( 4^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} \)
• \( 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \)
• \( 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} \)

Ответ: \( 4 \)