ГДЗ: Упражнение 101 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощаем показатель степени во второй скобке.

• Избавляемся от иррациональности в знаменателе:
  \( \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 \).
• Второе выражение: \( x^{\sqrt{2} + 1} \).

Шаг 2: Применяем свойства степеней.

• Умножение: показатели складываются; деление: показатели вычитаются.
  \( x^{\sqrt{2}} \cdot x^{\sqrt{2} + 1} : x^{\sqrt{2} - 1} = x^{\sqrt{2} + (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)} \).
• Упрощаем показатель:
  \( \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} + 2 \).

Ответ: \( x^{\sqrt{2} + 2} \).

Шаг 1: Упрощаем выражение с основанием \( a \).

• Деление: показатели вычитаются.
  \( a^{\sqrt{3}} : a^{\sqrt{3} - 1} = a^{\sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1)} = a^{\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1} = a^1 = a \).

Шаг 2: Упрощаем выражение с основанием \( b \).

• Деление: показатели вычитаются.
  \( b^{\sqrt{3} + 1} : b^{\sqrt{3} - 1} = b^{(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1)} = b^{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1} = b^2 \).

Шаг 3: Вычисляем произведение.

• \( a \cdot b^2 = ab^2 \).

Ответ: \( ab^2 \).