ГДЗ: Упражнение 92 - Параграф Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

92 упражнение:

Вычислить:

1) \( (0,645 : 0,3 - \frac{107}{180}) : (4\frac{6}{25} - 1:5 + 1,96) \)

Ответ

Шаг 1: Вычисляем выражение в первой скобке.

Деление: \( 0,645 : 0,3 = 645 : 300 = 2,15 \).
Разность: Переведем \( 2,15 \) в дробь: \( 2,15 = 2\frac{15}{100} = 2\frac{3}{20} = \frac{43}{20} \).
Находим разность: \( \frac{43}{20} - \frac{107}{180} \). Общий знаменатель \( 180 \).
\( \frac{43 \cdot 9}{20 \cdot 9} - \frac{107}{180} = \frac{387}{180} - \frac{107}{180} = \frac{387 - 107}{180} = \frac{280}{180} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9} \).

Шаг 2: Вычисляем выражение во второй скобке.

Переводим в десятичные дроби:
\( 4\frac{6}{25} = 4 + \frac{6 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 4 + \frac{24}{100} = 4,24 \).
\( 1:5 = 0,2 \).
Считаем: \( 4,24 - 0,2 + 1,96 \).
\( (4,24 + 1,96) - 0,2 = 6,2 - 0,2 = 6 \).

Шаг 3: Выполняем деление.

\( \frac{14}{9} : 6 = \frac{14}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{14}{54} = \frac{7}{27} \).

Ответ: \( \frac{7}{27} \).

2) \( (\frac{1}{2} - 0,375) : 0,125 + (\frac{5}{6} - \frac{7}{12}) : (0,358 - 0,108) \)

Ответ

Шаг 1: Вычисляем выражение в первой части (до знака +).

Первая скобка: Переведем десятичные дроби в обыкновенные:
\( 0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8} \).
\( 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \).
Вычисляем скобку: \( \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8} \).
Деление: \( \frac{1}{8} : 0,125 = \frac{1}{8} : \frac{1}{8} = 1 \).

Шаг 2: Вычисляем выражение во второй части (после знака +).

Первая скобка: Приводим к общему знаменателю \( 12 \):
\( \frac{5}{6} - \frac{7}{12} = \frac{10}{12} - \frac{7}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \).
Вторая скобка:
\( 0,358 - 0,108 = 0,250 = 0,25 \).
Деление: \( \frac{1}{4} : 0,25 = 0,25 : 0,25 = 1 \).

Шаг 3: Выполняем сложение.

\( 1 + 1 = 2 \).

Ответ: \( 2 \).

Что применять при решении

Основное свойство степени

Произведение степеней с одинаковыми основаниями: основание остается прежним, показатели складываются.

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Степень степени

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Степень частного и произведения

Степень частного (дроби) равна частному степеней; степень произведения равна произведению степеней.

\( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \); \( (ab)^n = a^n b^n \)

Отрицательный показатель степени

Степень с отрицательным показателем равна дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — степени того же основания с положительным показателем. Применимо, если основание не равно нулю.

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, a \ne 0 \)

Рациональный показатель степени

Степень с рациональным показателем \( \frac{m}{n} \) определяется как корень \( n \)-й степени из основания, возведенного в степень \( m \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Формула разности квадратов

Произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов.

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Формулы суммы и разности кубов

Разложение суммы и разности кубов на множители.

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \); \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Избавление от иррациональности в знаменателе

Для дроби вида \( \frac{A}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} \) нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \).

\( \frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} \)

Другие упражнения из параграфа Глава 1

92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 112 113 114 115 116 117 118

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: Глава 1 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.