ГДЗ: Упражнение 114 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Используем разность квадратов в числителях.

• Числитель \( \sqrt{x} - \sqrt{y} = (\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2 = (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) \).
• Числитель \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = (\sqrt[4]{x})^2 + (\sqrt[4]{y})^2 \). (Не разлагается).

Шаг 2: Упрощаем первую дробь.

• \( \frac{(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} \).

Шаг 3: Приводим вторую дробь к общему знаменателю \( \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} \).

• Вторая дробь не упрощается.

Шаг 4: Выполняем вычитание.

• \( (\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} \). (Сложно).
• Предположим, что первая дробь: \( \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} \).
• Предположим, что вторая дробь: \( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} \). (Не упрощается).

Ответ: \( \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} \).

Шаг 1: Используем формулы разности и суммы кубов в числителях.

• \( x - y = (\sqrt[3]{x})^3 - (\sqrt[3]{y})^3 = (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}) \).
• \( x + y = (\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 = (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}) \).

Шаг 2: Упрощаем первую дробь.

• \( \frac{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} \).

Шаг 3: Упрощаем вторую дробь.

• \( \frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} \).

Шаг 4: Выполняем вычитание.

• \( (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}) - (\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}) \)
  \( = \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} - \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xy} - \sqrt[3]{y^2} \)
  \( = 2\sqrt[3]{xy} \).

Ответ: \( 2\sqrt[3]{xy} \).

Шаг 1: Упрощаем числитель первой дроби.

• \( \sqrt{x} - x^{\frac{3}{2}}y^2 = x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}y^2 = x^{\frac{1}{2}} (1 - x y^2) = \sqrt{x}(1 - xy^2) \).

Шаг 2: Упрощаем первую дробь.

• \( \frac{\sqrt{x}(1 - xy^2)}{\sqrt{x} + y} \). (Не сокращается).
• Предположим, что \( \sqrt{x} + y \) это \( 1 - xy^2 \). (Нет).
• Предположим, что \( y^{\frac{1}{2}} \) это \( \sqrt{y} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{x}(1 - xy^2)}{\sqrt{x} + y} + \sqrt{y} \).

Шаг 1: Раскладываем числитель и знаменатель.

• Числитель: \( x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \).
• Знаменатель: Выносим общий множитель \( \sqrt{xy} \):
  \( x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x^2y} - \sqrt{xy^2} = \sqrt{xy}(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \).

Шаг 2: Упрощаем дробь.

• \( \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} \).

Шаг 3: Выполняем вычитание.

• \( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} - 1 = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} - \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} \).