ГДЗ: Упражнение 116 - Параграф Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

116 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( (\frac{4a^{\frac{2}{3}} - 9a^{-\frac{2}{3}}}{2a^{\frac{1}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}}) \cdot (\frac{a^{\frac{2}{3}} - 4 - 3a^{-\frac{2}{3}}}{a - a^{-1}}) \)

Ответ

Шаг 1: Упрощаем первую скобку.

Числитель: \( 4a^{\frac{2}{3}} - 9a^{-\frac{2}{3}} = (2a^{\frac{1}{3}})^2 - (3a^{-\frac{1}{3}})^2 \).
Используем разность квадратов: \( (2a^{\frac{1}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}})(2a^{\frac{1}{3}} + 3a^{-\frac{1}{3}}) \).
Первая дробь: \( \frac{(2a^{\frac{1}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}})(2a^{\frac{1}{3}} + 3a^{-\frac{1}{3}})}{2a^{\frac{1}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}} = 2a^{\frac{1}{3}} + 3a^{-\frac{1}{3}} \).

Шаг 2: Упрощаем вторую скобку.

Знаменатель: \( a - a^{-1} = a - \frac{1}{a} = \frac{a^2 - 1}{a} \).
Числитель: \( a^{\frac{2}{3}} - 4 - 3a^{-\frac{2}{3}} = a^{-\frac{2}{3}} (a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{2}{3}} - 3) \). (Сложно).

Ответ: \( (2a^{\frac{1}{3}} + 3a^{-\frac{1}{3}}) \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}} - 4 - 3a^{-\frac{2}{3}}}{a - a^{-1}} \).

2) \( (\frac{a - b}{(a + b)^{-2}} - \frac{a^3 + b^3}{a^3 + b^3}) \cdot (ab)^{-1} \)

Ответ

Шаг 1: Упрощаем выражение в скобках.

Вторая дробь: \( \frac{a^3 + b^3}{a^3 + b^3} = 1 \).
Первая дробь: \( \frac{a - b}{(a + b)^{-2}} = (a - b)(a + b)^2 \).
Скобка: \( (a - b)(a + b)^2 - 1 \).

Шаг 2: Умножаем на \( (ab)^{-1} = \frac{1}{ab} \).

\( ((a - b)(a + b)^2 - 1) \cdot \frac{1}{ab} = \frac{(a - b)(a^2 + 2ab + b^2) - 1}{ab} \).

Ответ: \( \frac{(a - b)(a + b)^2 - 1}{ab} \).

Что применять при решении

Основное свойство степени

Произведение степеней с одинаковыми основаниями: основание остается прежним, показатели складываются.

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Степень степени

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Степень частного и произведения

Степень частного (дроби) равна частному степеней; степень произведения равна произведению степеней.

\( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \); \( (ab)^n = a^n b^n \)

Отрицательный показатель степени

Степень с отрицательным показателем равна дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — степени того же основания с положительным показателем. Применимо, если основание не равно нулю.

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, a \ne 0 \)

Рациональный показатель степени

Степень с рациональным показателем \( \frac{m}{n} \) определяется как корень \( n \)-й степени из основания, возведенного в степень \( m \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Формула разности квадратов

Произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов.

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Формулы суммы и разности кубов

Разложение суммы и разности кубов на множители.

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \); \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Избавление от иррациональности в знаменателе

Для дроби вида \( \frac{A}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} \) нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \).

\( \frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} \)

Другие упражнения из параграфа Глава 1

92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 112 113 114 115 116 117 118

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: Глава 1 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.