ГДЗ: Упражнение 99 - Параграф Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

99 упражнение:

Сравнить числа:

1) \( 0,88^6 \) и \( (\frac{1}{6})^6 \)

Ответ

Шаг 1: Приводим числа к одному показателю.

Оба числа имеют одинаковый показатель \( 6 \).

Шаг 2: Сравниваем основания.

\( 0,88 \) и \( \frac{1}{6} \).
\( \frac{1}{6} \approx 0,166... \).
\( 0,88 > 0,166... \).

Шаг 3: Сравниваем степени.

Так как показатель \( 6 \) — положительное четное число, и основания положительны: если \( a > b > 0 \), то \( a^6 > b^6 \).
\( 0,88^6 > (\frac{1}{6})^6 \).

Ответ: \( 0,88^6 > (\frac{1}{6})^6 \).

2) \( (\frac{5}{12})^{11} \) и \( 0,41^{11} \)

Ответ

Шаг 1: Приводим числа к одному показателю.

Оба числа имеют одинаковый показатель \( 11 \).

Шаг 2: Сравниваем основания.

\( \frac{5}{12} \) и \( 0,41 \).
Переведем \( \frac{5}{12} \) в десятичную дробь: \( 5 : 12 \approx 0,4166... \).
Сравниваем \( 0,4166... \) и \( 0,41 \).
\( 0,4166... > 0,41 \).

Шаг 3: Сравниваем степени.

Так как показатель \( 11 \) — положительное нечетное число, и основания положительны: если \( a > b > 0 \), то \( a^{11} > b^{11} \).
\( (\frac{5}{12})^{11} > 0,41^{11} \).

Ответ: \( (\frac{5}{12})^{11} > 0,41^{11} \).

3) \( 4,09^{\frac{3}{2}} \) и \( (\frac{4}{25})^{-\frac{3}{2}} \)

Ответ

Шаг 1: Приводим числа к одному показателю.

Первое число: \( 4,09^{\frac{3}{2}} \).
Второе число: \( (\frac{4}{25})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{25}{4})^{\frac{3}{2}} \).

Шаг 2: Сравниваем основания.

Первое основание: \( 4,09 \).
Второе основание: \( \frac{25}{4} = 6,25 \).
\( 6,25 > 4,09 \).

Шаг 3: Сравниваем степени.

Так как показатель \( \frac{3}{2} = 1,5 \) — положительное число, и основания положительны: если \( a > b > 0 \), то \( a^{1,5} > b^{1,5} \).
\( (\frac{25}{4})^{\frac{3}{2}} > 4,09^{\frac{3}{2}} \).

Ответ: \( 4,09^{\frac{3}{2}} < (\frac{4}{25})^{-\frac{3}{2}} \).

4) \( \sqrt{5} \) и \( (\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}} \)

Ответ

Шаг 1: Приводим числа к одному основанию или показателю.

Первое число: \( \sqrt{5} \approx 2,236 \).
Второе число: \( (\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}} = (\frac{13}{12})^{\sqrt{5}} \).

Шаг 2: Оцениваем второе число.

Основание: \( \frac{13}{12} = 1 + \frac{1}{12} \approx 1,083 \).
Показатель: \( \sqrt{5} \approx 2,236 \).
Так как основание \( \frac{13}{12} > 1 \), то с ростом показателя степень растет.
Сравним \( (\frac{13}{12})^{\sqrt{5}} \) с \( 1 \) и \( 2 \):
\( (\frac{13}{12})^1 = \frac{13}{12} \approx 1,083 \).
\( (\frac{13}{12})^2 = \frac{169}{144} \approx 1,17 \).
Поскольку \( \sqrt{5} > 2 \), то \( (\frac{13}{12})^{\sqrt{5}} > (\frac{13}{12})^2 \approx 1,17 \).

Шаг 3: Сравниваем.

\( \sqrt{5} \approx 2,236 \).
\( (\frac{13}{12})^{\sqrt{5}} \approx 1,2 \). (Точное значение сложнее, но оно точно меньше 2).
\( 2,236 > 1,2 \).

Ответ: \( \sqrt{5} > (\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}} \).

Что применять при решении

Основное свойство степени

Произведение степеней с одинаковыми основаниями: основание остается прежним, показатели складываются.

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Степень степени

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Степень частного и произведения

Степень частного (дроби) равна частному степеней; степень произведения равна произведению степеней.

\( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \); \( (ab)^n = a^n b^n \)

Отрицательный показатель степени

Степень с отрицательным показателем равна дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — степени того же основания с положительным показателем. Применимо, если основание не равно нулю.

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, a \ne 0 \)

Рациональный показатель степени

Степень с рациональным показателем \( \frac{m}{n} \) определяется как корень \( n \)-й степени из основания, возведенного в степень \( m \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Формула разности квадратов

Произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов.

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Формулы суммы и разности кубов

Разложение суммы и разности кубов на множители.

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \); \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Избавление от иррациональности в знаменателе

Для дроби вида \( \frac{A}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} \) нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \).

\( \frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} \)

Другие упражнения из параграфа Глава 1

92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 112 113 114 115 116 117 118

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: Глава 1 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.