ГДЗ: Упражнение 113 - Параграф Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

113 упражнение:

Вычислить:

1) \( ((\frac{2}{7})^{-3} - (\frac{3}{4})^{-4}) : (\frac{49}{28} + \sqrt{16}) \)

Ответ

Шаг 1: Упрощаем степени.

\( (\frac{2}{7})^{-3} = (\frac{7}{2})^3 = \frac{343}{8} \).
\( (\frac{3}{4})^{-4} = (\frac{4}{3})^4 = \frac{256}{81} \).

Шаг 2: Вычисляем первую скобку.

\( \frac{343}{8} - \frac{256}{81} \). Общий знаменатель \( 8 \cdot 81 = 648 \).
\( \frac{343 \cdot 81 - 256 \cdot 8}{648} = \frac{27783 - 2048}{648} = \frac{25735}{648} \).

Шаг 3: Вычисляем вторую скобку.

\( \frac{49}{28} = \frac{7}{4} \).
\( \frac{7}{4} + \sqrt{16} = \frac{7}{4} + 4 = \frac{7}{4} + \frac{16}{4} = \frac{23}{4} \).

Шаг 4: Выполняем деление.

\( \frac{25735}{648} : \frac{23}{4} = \frac{25735}{648} \cdot \frac{4}{23} \).
Сокращаем \( 648 \) и \( 4 \): \( \frac{25735}{162 \cdot 23} \).
Делим \( 25735 \) на \( 23 \): \( 25735 : 23 = 1119 \) (с остатком).
Проверим, если \( 25735 : 23 = 1119 \). \( 23 \cdot 1000 = 23000 \). \( 25735 - 23000 = 2735 \). \( 23 \cdot 100 = 2300 \). \( 435 \). \( 23 \cdot 10 = 230 \). \( 205 \). \( 23 \cdot 8 \approx 184 \). \( 25735 : 23 = 1118,91... \).
Проверим, если в условии была опечатка. Если \( \frac{49}{28} \) это \( 1\frac{3}{4} \).
Предположим, что ответ должен быть целым числом. \( 25735 : 23 = 1118,91 \).
Примем точный ответ: \( \frac{25735}{162 \cdot 23} = \frac{25735}{3726} \).

Ответ: \( \frac{25735}{3726} \).

2) \( (\frac{3}{4} - 10^{-\frac{3}{2}}) : (\frac{3}{2} + \sqrt[3]{\frac{25}{4}}) \)

Ответ

Шаг 1: Упрощаем вторую скобку.

\( \sqrt[3]{\frac{25}{4}} = \sqrt[3]{\frac{5^2}{2^2}} \).
\( \frac{3}{2} + \sqrt[3]{\frac{25}{4}} \). (Сложно упростить).

Шаг 2: Упрощаем первую скобку.

\( 10^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10^3}} = \frac{1}{10\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{100} \).
\( \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{10}}{100} = \frac{75 - \sqrt{10}}{100} \).

Шаг 3: Выполняем деление.

\( \frac{75 - \sqrt{10}}{100} : (\frac{3}{2} + \sqrt[3]{\frac{25}{4}}) \).

Ответ: \( \frac{75 - \sqrt{10}}{100 \cdot (\frac{3}{2} + \sqrt[3]{\frac{25}{4}})} \).

Что применять при решении

Основное свойство степени

Произведение степеней с одинаковыми основаниями: основание остается прежним, показатели складываются.

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Степень степени

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Степень частного и произведения

Степень частного (дроби) равна частному степеней; степень произведения равна произведению степеней.

\( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \); \( (ab)^n = a^n b^n \)

Отрицательный показатель степени

Степень с отрицательным показателем равна дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — степени того же основания с положительным показателем. Применимо, если основание не равно нулю.

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, a \ne 0 \)

Рациональный показатель степени

Степень с рациональным показателем \( \frac{m}{n} \) определяется как корень \( n \)-й степени из основания, возведенного в степень \( m \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Формула разности квадратов

Произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов.

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Формулы суммы и разности кубов

Разложение суммы и разности кубов на множители.

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \); \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Избавление от иррациональности в знаменателе

Для дроби вида \( \frac{A}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} \) нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \).

\( \frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} \)

Другие упражнения из параграфа Глава 1

92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 112 113 114 115 116 117 118

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: Глава 1 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.