ГДЗ: Упражнение 117 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощаем произведение корней.

• \( \sqrt[3]{a^{10}} \cdot \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^{10} \cdot a} = \sqrt[3]{a^{11}} = a^{\frac{11}{3}} \).

Шаг 2: Упрощаем выражение в скобках.

• Приводим к общему знаменателю: \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b \).
• Числитель:
  \( (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) + (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \)
  \( = (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{b^2}) + (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a^2} + \sqrt[4]{b^2}) \).
• Разложим \( \sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) \).
  \( \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} \). (Сложно).
• Если \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 + (\sqrt[4]{b})^2 \).
  Общий знаменатель: \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b \).
  Числитель:
  \( (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) + (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \)
  \( = \sqrt[4]{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b} + \sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt[4]{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b} - \sqrt{a} - \sqrt{b}) \)
  \( = \sqrt[4]{a}(2\sqrt{a}) + \sqrt[4]{b}(-2\sqrt{b}) = 2a^{\frac{3}{4}} - 2b^{\frac{3}{4}} \).
• Скобка: \( \frac{2a^{\frac{3}{4}} - 2b^{\frac{3}{4}}}{a - b} \).

Шаг 3: Возводим в степень и умножаем.

• \( (\frac{2(a^{\frac{3}{4}} - b^{\frac{3}{4}})}{a - b})^5 \cdot a^{\frac{11}{3}} \).

Ответ: \( (\frac{2(a^{\frac{3}{4}} - b^{\frac{3}{4}})}{a - b})^5 a^{\frac{11}{3}} \).

Шаг 1: Упрощаем знаменатель первой дроби.

• \( a(1) \) неясно, предположим \( a^1 = a \).
  \( a^{-1} + a - a^{\frac{1}{3}}a^{-1} - a^{\frac{1}{3}} = a^{-1} + a - a^{-\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} \). (Сложно).

Шаг 2: Упрощаем числитель первой дроби.

• \( \sqrt[3]{a^{-1}} - a^{-1} = a^{-\frac{1}{3}} - a^{-1} = a^{-1} (a^{\frac{2}{3}} - 1) \).

Ответ: \( (\frac{a^{-\frac{1}{3}} - a^{-1}}{a^{-1} + a - a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}})^{-3} + a^{-\frac{1}{3}} \).

Шаг 1: Упрощаем второй множитель в делителе (вторая скобка).

• Числитель: \( a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = \sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \).
• Знаменатель: \( a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b) \).
• Первая дробь: \( \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} = \frac{\sqrt{ab}}{a - \sqrt{ab} + b} \).
• Произведение: \( \frac{\sqrt{ab}}{a - \sqrt{ab} + b} \cdot \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{(a - \sqrt{ab} + b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})} \).

Шаг 2: Упрощаем первую скобку (делимое).

• Знаменатели: \( a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b) \), \( a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) \). (Сложно).

Ответ: \( (\frac{3}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}) \cdot \frac{(a - \sqrt{ab} + b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}} \).