На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 97 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 1 Страницы: 35, 36, 37, 38
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

97 упражнение:

Вычислить:

1) \( 3\sqrt[3]{2\frac{1}{4}} : 3^{\frac{1}{2}} \)
Ответ

Шаг 1: Приводим выражения к степеням с рациональным показателем.

  • \( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} = \frac{3^2}{2^2} \).
  • \( 3\sqrt[3]{2\frac{1}{4}} = 3 \cdot (\frac{3^2}{2^2})^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = 3^{1 + \frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} \).
  • \( 3^{\frac{1}{2}} = 3^{0,5} \).

Шаг 2: Выполняем деление.

  • \( (3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}}) : 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{3} - \frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} \).
  • Разность показателей: \( \frac{5}{3} - \frac{1}{2} = \frac{10 - 3}{6} = \frac{7}{6} \).
  • Результат: \( 3^{\frac{7}{6}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{7}{6}} \cdot 2^{-\frac{4}{6}} = \frac{\sqrt[6]{3^7}}{\sqrt[6]{2^4}} = \sqrt[6]{\frac{3^7}{16}} \). (Снова сложно).

Предположим, что \( 3\sqrt[3]{2\frac{1}{4}} \) это \( \sqrt[3]{3 \cdot 2\frac{1}{4}} \).
\( \sqrt[3]{3 \cdot \frac{9}{4}} = \sqrt[3]{\frac{27}{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \).
\( \frac{3}{\sqrt[3]{4}} : \sqrt{3} = \frac{3}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{3}} \). (Снова не упрощается).

Примем первый вариант: \( 3^{\frac{7}{6}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} \).
\( 3^{\frac{7}{6}} \cdot 2^{-\frac{4}{6}} = \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{4}{6}}} = 3 \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{2^4}} = 3 \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{16}} \).

Ответ: \( 3\sqrt[6]{\frac{3}{16}} \).

2) \( 4^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 6\frac{3}{4}} \)
Ответ

Шаг 1: Приводим выражения к степеням с рациональным показателем.

  • \( 6\frac{3}{4} = \frac{27}{4} \).
  • Выражение под корнем: \( 4 \cdot \frac{27}{4} = 27 \).
  • \( \sqrt[3]{4 \cdot 6\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{27} = 3 \).

Шаг 2: Умножаем.

  • \( 4^{\frac{1}{3}} \cdot 3 = 3\sqrt[3]{4} \).

Ответ: \( 3\sqrt[3]{4} \).

3) \( 4\sqrt[3]{15\frac{5}{8}} : 4^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[5]{2\frac{4}{5}} \)
Ответ

Шаг 1: Упрощаем первый множитель.

  • \( 15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{125}{8} = (\frac{5}{2})^3 \).
  • \( \sqrt[3]{15\frac{5}{8}} = \sqrt[3]{(\frac{5}{2})^3} = \frac{5}{2} \).

Шаг 2: Выполняем деление.

  • \( 4 \cdot \frac{5}{2} = 10 \).
  • \( 10 : 4^{\frac{1}{3}} = \frac{10}{\sqrt[3]{4}} \).

Шаг 3: Упрощаем последний множитель.

  • \( 2\frac{4}{5} = \frac{14}{5} \).
  • \( \sqrt[5]{2\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{\frac{14}{5}} \).

Шаг 4: Умножаем.

  • \( \frac{10}{\sqrt[3]{4}} \cdot \sqrt[5]{\frac{14}{5}} \).

Ответ: \( \frac{10\sqrt[5]{\frac{14}{5}}}{\sqrt[3]{4}} \).

4) \( \sqrt[3]{11\frac{1}{4}} : \sqrt[3]{\frac{3}{1}} \cdot \frac{3}{1} \)
Ответ

Шаг 1: Упрощаем выражения.

  • \( 11\frac{1}{4} = \frac{45}{4} \).
  • \( \sqrt[3]{11\frac{1}{4}} = \sqrt[3]{\frac{45}{4}} \).
  • \( \sqrt[3]{\frac{3}{1}} = \sqrt[3]{3} \).

Шаг 2: Выполняем деление.

  • \( \sqrt[3]{\frac{45}{4}} : \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{\frac{45}{4} : 3} = \sqrt[3]{\frac{45}{12}} = \sqrt[3]{\frac{15}{4}} \).

Шаг 3: Умножаем на \( \frac{3}{1} = 3 \).

  • \( \sqrt[3]{\frac{15}{4}} \cdot 3 = 3\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \).

Ответ: \( 3\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \).

5) \( (\sqrt[3]{27})^{\frac{1}{2}} \)
Ответ

Шаг 1: Упрощаем выражение в скобках.

  • \( \sqrt[3]{27} = 3 \).

Шаг 2: Возводим в степень.

  • \( 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \).

6) \( (\sqrt[3]{16})^{\frac{3}{5}} \)
Ответ

Шаг 1: Приводим к степени с рациональным показателем.

  • \( \sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} \).

Шаг 2: Возводим в степень.

  • \( (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{5}} = 2^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 2^{\frac{4}{5}} \).

Ответ: \( 2^{\frac{4}{5}} \) или \( \sqrt[5]{16} \).

Что применять при решении

Основное свойство степени

Произведение степеней с одинаковыми основаниями: основание остается прежним, показатели складываются.
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Степень степени

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Степень частного и произведения

Степень частного (дроби) равна частному степеней; степень произведения равна произведению степеней.
\( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \); \( (ab)^n = a^n b^n \)

Отрицательный показатель степени

Степень с отрицательным показателем равна дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — степени того же основания с положительным показателем. Применимо, если основание не равно нулю.
\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, a \ne 0 \)

Рациональный показатель степени

Степень с рациональным показателем \( \frac{m}{n} \) определяется как корень \( n \)-й степени из основания, возведенного в степень \( m \).
\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Формула разности квадратов

Произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов.
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Формулы суммы и разности кубов

Разложение суммы и разности кубов на множители.
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \); \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Избавление от иррациональности в знаменателе

Для дроби вида \( \frac{A}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} \) нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \).
\( \frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} \)

Не сходится своя задача? Разберём по шагам

  • Формула, подстановка и расчёт
  • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
  • Бесплатно и без регистрации
Решить задачу Разбор задачи бесплатный

Другие упражнения из параграфа Глава 1

92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 112 113 114 115 116 117 118

Данные параграфа

К параграфу →
Глава
Глава 1
Параграф
Глава 1 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025

Задали работу по этой теме?

Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.