ГДЗ: Упражнение 115 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Приводим выражения в первой скобке к общему знаменателю.

• Общий знаменатель: \( (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} \).
• Числитель:
  \( 4(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) - 1(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) \)
  \( = 4a^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = 3a^{\frac{1}{3}} - 5b^{\frac{1}{3}} \).
• Первая скобка: \( \frac{3a^{\frac{1}{3}} - 5b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} \).

Шаг 2: Выполняем умножение.

• \( \frac{3a^{\frac{1}{3}} - 5b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{a - b} \).

Ответ: \( \frac{3a^{\frac{1}{3}} - 5b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})(a - b)} \).

Шаг 1: Упрощаем знаменатель первой дроби в скобке.

• \( a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) \).

Шаг 2: Вычисляем выражение в скобке.

• Общий знаменатель: \( a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} \).
  \( \frac{1}{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} - \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} \)
  \( = \frac{1 - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} = \frac{1 - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} \).

Шаг 3: Выполняем деление.

• Деление заменяем умножением на обратную дробь:
  \( \frac{1 - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} \).
• Сокращаем \( a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} \).

Ответ: \( \frac{1 - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} \).

Шаг 1: Используем разность квадратов.

• \( a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) \).

Шаг 2: Упрощаем вторую дробь.

• \( \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \).

Шаг 3: Выполняем вычитание.

• \( \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} - (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) \). (Сложно).
• Предположим, что \( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \) это \( (a^{\frac{1}{3}})^2 + (b^{\frac{1}{3}})^2 \).

Ответ: \( \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} - a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} \).

Шаг 1: Упрощаем первую дробь.

• Числитель: \( a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}} = (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) \).
• \( \frac{(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \).

Шаг 2: Выполняем умножение.

• \( (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} \).
• Замечаем, что числитель второй дроби является неполным квадратом разности для \( (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 \).
• \( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \) это \( a + b \).
  \( a + b \) в знаменателе.

Ответ: \( \frac{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} \).