ГДЗ: Упражнение 318 - Параграф § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

318 упражнение:

Сравнить числа:

1) \( \log_{\frac{5}{6}} 3 \) и \( \log_{\frac{5}{6}} 5 \)

Ответ

Шаг 1: Определяем основание и тип функции.

Основание логарифмов - \( a = \frac{5}{6} \).
Так как \( 0 < \frac{5}{6} < 1 \), логарифмическая функция \( y = \log_{\frac{5}{6}} x \) является убывающей.

Шаг 2: Сравниваем аргументы.

Аргументы логарифмов: \( 3 \) и \( 5 \).
Сравнение: \( 3 < 5 \).

Шаг 3: Используем свойство убывающей функции.

Для убывающей функции (при \( 0 < a < 1 \)), если \( x_1 < x_2 \), то \( \log_a x_1 > \log_a x_2 \) (знак неравенства меняется на противоположный).
Так как \( 3 < 5 \), то \( \log_{\frac{5}{6}} 3 > \log_{\frac{5}{6}} 5 \).

Ответ: \( \log_{\frac{5}{6}} 3 > \log_{\frac{5}{6}} 5 \).

2) \( \log_{\frac{2}{3}} 9 \) и \( \log_{\frac{2}{3}} 17 \)

Ответ

Шаг 1: Определяем основание и тип функции.

Основание логарифмов - \( a = \frac{2}{3} \).
Так как \( 0 < \frac{2}{3} < 1 \), логарифмическая функция \( y = \log_{\frac{2}{3}} x \) является убывающей.

Шаг 2: Сравниваем аргументы.

Аргументы логарифмов: \( 9 \) и \( 17 \).
Сравнение: \( 9 < 17 \).

Шаг 3: Используем свойство убывающей функции.

Для убывающей функции (при \( 0 < a < 1 \)), если \( x_1 < x_2 \), то \( \log_a x_1 > \log_a x_2 \) (знак неравенства меняется).
Так как \( 9 < 17 \), то \( \log_{\frac{2}{3}} 9 > \log_{\frac{2}{3}} 17 \).

Ответ: \( \log_{\frac{2}{3}} 9 > \log_{\frac{2}{3}} 17 \).

3) \( \log_{\frac{1}{e}} \pi \) и \( \log_{\frac{1}{e}} e \)

Ответ

Шаг 1: Определяем основание и тип функции.

Основание логарифмов - \( a = \frac{1}{e} \).
Так как \( e \approx 2.718 \), то \( 0 < \frac{1}{e} < 1 \). Следовательно, логарифмическая функция \( y = \log_{\frac{1}{e}} x \) является убывающей.

Шаг 2: Сравниваем аргументы.

Аргументы логарифмов: \( \pi \) и \( e \).
Сравнение: \( \pi \approx 3.14159... \) и \( e \approx 2.71828... \). Так как \( 3.14159 > 2.71828 \), то \( \pi > e \).

Шаг 3: Используем свойство убывающей функции.

Для убывающей функции (при \( 0 < a < 1 \)), если \( x_1 > x_2 \), то \( \log_a x_1 < \log_a x_2 \) (знак неравенства меняется).
Так как \( \pi > e \), то \( \log_{\frac{1}{e}} \pi < \log_{\frac{1}{e}} e \).

Ответ: \( \log_{\frac{1}{e}} \pi < \log_{\frac{1}{e}} e \).

4) \( \log_{\frac{\sqrt{5}}{2}} \frac{1}{2} \) и \( \log_{\frac{\sqrt{5}}{2}} \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Ответ

Шаг 1: Определяем основание и тип функции.

Основание логарифмов - \( a = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
Сравниваем основание с единицей: \( \sqrt{5} \approx 2.236 \). \( a = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx \frac{2.236}{2} \approx 1.118 \).
Так как \( \frac{\sqrt{5}}{2} > 1 \), логарифмическая функция \( y = \log_{\frac{\sqrt{5}}{2}} x \) является возрастающей.

Шаг 2: Сравниваем аргументы.

Аргументы логарифмов: \( \frac{1}{2} \) и \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Сравниваем числители: \( 1 \) и \( \sqrt{3} \). Так как \( 1 = \sqrt{1} \) и \( 1 < 3 \), то \( \sqrt{1} < \sqrt{3} \), то есть \( 1 < \sqrt{3} \).
Сравнение: \( \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Шаг 3: Используем свойство возрастающей функции.

Для возрастающей функции (при \( a > 1 \)), если \( x_1 < x_2 \), то \( \log_a x_1 < \log_a x_2 \) (знак неравенства сохраняется).
Так как \( \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( \log_{\frac{\sqrt{5}}{2}} \frac{1}{2} < \log_{\frac{\sqrt{5}}{2}} \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \log_{\frac{\sqrt{5}}{2}} \frac{1}{2} < \log_{\frac{\sqrt{5}}{2}} \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Что применять при решении

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).

\( y = \log_a x \)

Область определения логарифмической функции

Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).

\( D(y) = (0; +\infty) \)

Множество значений логарифмической функции

Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.

\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)

Монотонность логарифмической функции

Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).

Определение логарифма

Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).

\( \log_a b = x \iff a^x = b \)

Свойство логарифмов: Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))

Свойство логарифмов: Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 18 — Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.