ГДЗ: Упражнение 328 - Параграф § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

328 упражнение:

Найти область определения функции:

1) \( y = \log_4 (1 - x) \)

Ответ

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

Область определения логарифмической функции требует, чтобы аргумент логарифма был строго положительным.
Аргумент: \( 1 - x \).

Шаг 2: Решаем неравенство.

\[ 1 - x > 0 \] \[ -x > -1 \] \[ x < 1 \]

Ответ: Область определения: \( x < 1 \) или \( (-\infty; 1) \).

2) \( y = \log_{0,3} (1 + x) \)

Ответ

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

Аргумент: \( 1 + x \).

Шаг 2: Решаем неравенство.

\[ 1 + x > 0 \] \[ x > -1 \]

Ответ: Область определения: \( x > -1 \) или \( (-1; +\infty) \).

3) \( y = \log_3 (x^2 + 2x) \)

Ответ

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

Аргумент: \( x^2 + 2x \).

Шаг 2: Решаем неравенство.

\[ x^2 + 2x > 0 \] \[ x(x + 2) > 0 \]
Находим корни уравнения \( x(x+2) = 0 \): \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -2 \).
Так как парабола \( y = x^2 + 2x \) направлена ветвями вверх, неравенство \( > 0 \) выполняется вне корней.

Шаг 3: Записываем интервалы.

\[ x < -2 \text{ или } x > 0 \]

Ответ: Область определения: \( (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \).

4) \( y = \log_{\sqrt{2}} (4 - x^2) \)

Ответ

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

Аргумент: \( 4 - x^2 \).

Шаг 2: Решаем неравенство.

\[ 4 - x^2 > 0 \] \[ x^2 < 4 \] \[ -2 < x < 2 \]
Находим корни уравнения \( 4 - x^2 = 0 \): \( x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 2 \).
Так как парабола \( y = 4 - x^2 \) направлена ветвями вниз, неравенство \( > 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: Область определения: \( (-2; 2) \).

Что применять при решении

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).

\( y = \log_a x \)

Область определения логарифмической функции

Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).

\( D(y) = (0; +\infty) \)

Множество значений логарифмической функции

Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.

\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)

Монотонность логарифмической функции

Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).

Определение логарифма

Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).

\( \log_a b = x \iff a^x = b \)

Свойство логарифмов: Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))

Свойство логарифмов: Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 18 — Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.