ГДЗ: Упражнение 321 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:
1)
\( y = \log_{0,075} x \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание.
Основание логарифма - \( a = 0,075 \).
Шаг 2: Сравниваем основание с 1.
Так как \( 0 < 0,075 < 1 \), функция \( y = \log_{0,075} x \) является убывающей.
Ответ: Функция убывающая.
2)
\( y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание.
Основание логарифма - \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Шаг 2: Сравниваем основание с 1.
Сравниваем \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) с 1, то есть \( \sqrt{3} \) с 2.
Так как \( \sqrt{3} \approx 1,732 \) и \( 1,732 < 2 \), то \( \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 \).
Следовательно, \( 0 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 \), функция \( y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x \) является убывающей.
Ответ: Функция убывающая.
3)
\( y = \lg x \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание.
Логарифм \( \lg x \) - это десятичный логарифм, его основание \( a = 10 \).
Шаг 2: Сравниваем основание с 1.
Так как \( 10 > 1 \), функция \( y = \lg x \) является возрастающей.
Ответ: Функция возрастающая.
4)
\( y = \ln x \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание.
Логарифм \( \ln x \) - это натуральный логарифм, его основание \( a = e \).
Шаг 2: Сравниваем основание с 1.
Так как \( e \approx 2,718 \) и \( e > 1 \), функция \( y = \ln x \) является возрастающей.
Ответ: Функция возрастающая.
Что применять при решении
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
