ГДЗ: Упражнение 330 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Используем свойство логарифма произведения (\( \log a + \log b = \log (ab) \)):
\[ A = \lg \sqrt{10} + \lg 3 = \lg (3 \sqrt{10}) \]
Шаг 2: Упрощаем второе выражение (\( B \)).
\[ B = \lg 19 - \lg 2 \]
Используем свойство логарифма частного (\( \log a - \log b = \log (a/b) \)):
\[ B = \lg \frac{19}{2} = \lg 9,5 \]
Шаг 3: Сравниваем.
Необходимо сравнить \( A = \lg (3 \sqrt{10}) \) и \( B = \lg 9,5 \).
Сравнение логарифмов с одинаковым основанием \( a = 10 > 1 \) (функция возрастающая) сводится к сравнению их аргументов: \( 3 \sqrt{10} \) и \( 9,5 \).
Возведем в квадрат оба числа:
\( (3 \sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90 \).
\( (9,5)^2 = 90,25 \).
Так как \( 90 < 90,25 \) и оба числа положительны, то \( 3 \sqrt{10} < 9,5 \).
Из возрастания функции \( y = \lg x \) следует: \( \lg (3 \sqrt{10}) < \lg 9,5 \).
Опечатка: В тексте варианта, вероятно, допущена опечатка. В типичных учебниках "Алгебра и начала анализа" А.Н. Алимова в таком задании все логарифмы должны быть одного типа, обычно \( \lg \). Будем решать в том виде, как дано, а затем предположим, что \( \log_2 3 \) должно быть \( \lg 3 \).
Случай 1 (как написано): \( A = \log_2 3 + \lg 19 - \lg 5 \).
\[ A = \log_2 3 + \lg \frac{19}{5} = \log_2 3 + \lg 3,8 \]
Сравнение с числом B невозможно без численных расчетов, так как логарифмы имеют разные основания. \( \log_2 3 \approx 1,58 \), \( \lg 3,8 \approx 0,58 \). \( A \approx 2,16 \).
Первое выражение (\( A \)): \( A = \lg \left( \frac{5 + \lg \sqrt{7}}{2} \right) \). Аргумент логарифма - среднее арифметическое чисел 5 и \( \lg \sqrt{7} \).
Второе выражение (\( B \)): \( B = \frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} \). Это среднее арифметическое логарифмов чисел 5 и \( \sqrt{7} \).
Логарифмическая функция \( y = \lg x \) с основанием \( a = 10 > 1 \) является выпуклой вверх (или вогнутой вниз), то есть для любых \( x_1, x_2 > 0 \) и \( \lambda \in (0, 1) \) справедливо неравенство:
\[ \lg (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \geq \lambda \lg x_1 + (1 - \lambda) \lg x_2 \]
В частности, для \( \lambda = 0,5 \) (среднее арифметическое):
\[ \lg \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \geq \frac{\lg x_1 + \lg x_2}{2} \]
Сравнение дано в обратном виде. Применим неравенство Йенсена для логарифма, который является вогнутой функцией (\( \log a < 0 \), вторая производная \( \frac{-1}{(x \ln 10) x} < 0 \)).
\[ \lg \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \leq \frac{\lg x_1 + \lg x_2}{2} \]
(Логарифмическая функция с \( a>1 \) является вогнутой. Среднее значение логарифма больше логарифма среднего значения).
Так как \( 1 < 1,699 < 10 \), то \( \lg 1 < A < \lg 10 \), то есть \( 0 < A < 1 \). Фактически \( A \approx 0,23 \).
Шаг 2: Оцениваем второе выражение (\( B \)).
\[ B = \lg 3 \cdot \lg 5 \]
Так как \( 1 < 3 < 10 \), то \( 0 < \lg 3 < 1 \) (\( \lg 3 \approx 0,477 \)).
Так как \( 1 < 5 < 10 \), то \( 0 < \lg 5 < 1 \) (\( \lg 5 \approx 0,699 \)).
Произведение двух положительных чисел меньше 1:
\[ 0 < \lg 3 \cdot \lg 5 < 1 \cdot 1 = 1 \]
\[ B \approx 0,477 \cdot 0,699 \approx 0,333 \) \]
Шаг 3: Сравниваем (численно).
\( A \approx 0,23 \)
\( B \approx 0,333 \)
Следовательно, \( A < B \).
Ответ: \( \lg \lg 50 < \lg 3 \lg 5 \).
Что применять при решении
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
