ГДЗ: Упражнение 320 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Основание логарифма - \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функция \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \) является убывающей.
Значение логарифма: \( \log_{\frac{1}{3}} x = -0,3 \). Оно отрицательно (\( -0,3 < 0 \)).
Шаг 2: Используем свойство убывающей функции.
Для убывающей функции \( y = \log_a x \) (\( 0 < a < 1 \)) справедливо:
Если \( \log_a x < 0 \) (отрицательное), то \( x > 1 \).
Если \( \log_a x > 0 \) (положительное), то \( 0 < x < 1 \).
Так как \( \log_{\frac{1}{3}} x = -0,3 < 0 \), то \( x > 1 \).
Ответ: \( x > 1 \).
2)
\( \log_{\frac{1}{2}} x = 1,7 \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание и знак логарифма.
Основание логарифма - \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), функция \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \) является убывающей.
Значение логарифма: \( \log_{\frac{1}{2}} x = 1,7 \). Оно положительно (\( 1,7 > 0 \)).
Шаг 2: Используем свойство убывающей функции.
Для убывающей функции \( y = \log_a x \) (\( 0 < a < 1 \)) справедливо:
Если \( \log_a x > 0 \) (положительное), то \( 0 < x < 1 \).
Так как \( \log_{\frac{1}{2}} x = 1,7 > 0 \), то \( 0 < x < 1 \).
Ответ: \( 0 < x < 1 \).
3)
\( \log_2 x = 1,3 \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание и знак логарифма.
Основание логарифма - \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция \( y = \log_2 x \) является возрастающей.
Значение логарифма: \( \log_2 x = 1,3 \). Оно положительно (\( 1,3 > 0 \)).
Шаг 2: Используем свойство возрастающей функции.
Для возрастающей функции \( y = \log_a x \) (\( a > 1 \)) справедливо:
Если \( \log_a x > 0 \) (положительное), то \( x > 1 \).
Если \( \log_a x < 0 \) (отрицательное), то \( 0 < x < 1 \).
Так как \( \log_2 x = 1,3 > 0 \), то \( x > 1 \).
Ответ: \( x > 1 \).
Что применять при решении
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
