ГДЗ: Упражнение 324 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
\( y = \lg x \) — десятичный логарифм, основание \( a = 10 \).
Шаг 2: Определяем свойства.
Так как \( a = 10 > 1 \), функция возрастающая.
График проходит через точку \( (1; 0) \).
Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( Oy \)).
Шаг 3: Схематическое изображение.
График возрастает, пересекает ось \( Ox \) в точке \( (1; 0) \), и "прижимается" к оси \( Oy \) при \( x \to 0 \).
2)
\( y = \ln x \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание.
\( y = \ln x \) — натуральный логарифм, основание \( a = e \approx 2,718 \).
Шаг 2: Определяем свойства.
Так как \( a = e > 1 \), функция возрастающая.
График проходит через точку \( (1; 0) \).
Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( Oy \)).
Шаг 3: Схематическое изображение.
График выглядит как \( y = \log_{10} x \), но из-за меньшего основания (\( e < 10 \)), он будет возрастать быстрее при \( x > 1 \) и медленнее приближаться к \( -\infty \) при \( x \to 0 \). В точке \( (1; 0) \) они пересекаются.
3)
\( y = \log_{0,4} x \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание.
Основание \( a = 0,4 \).
Шаг 2: Определяем свойства.
Так как \( 0 < 0,4 < 1 \), функция убывающая.
График проходит через точку \( (1; 0) \).
Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( Oy \)).
Шаг 3: Схематическое изображение.
График убывает, пересекает ось \( Ox \) в точке \( (1; 0) \), и "прижимается" к оси \( Oy \) при \( x \to 0 \).
4)
\( y = \log_{\frac{1}{5}} x \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание.
Основание \( a = \frac{1}{5} = 0,2 \).
Шаг 2: Определяем свойства.
Так как \( 0 < 0,2 < 1 \), функция убывающая.
График проходит через точку \( (1; 0) \).
Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( Oy \)).
Шаг 3: Схематическое изображение.
График убывает, пересекает ось \( Ox \) в точке \( (1; 0) \). Из-за меньшего основания (\( 0,2 < 0,4 \)) он будет убывать быстрее, чем \( y = \log_{0,4} x \).
Что применять при решении
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
