ГДЗ: Упражнение 319 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Выяснить, является ли положительным или отрицательным число:
1)
\( \log_3 4,5 \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание и тип функции.
Основание логарифма - \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), логарифмическая функция \( y = \log_3 x \) является возрастающей.
Шаг 2: Сравниваем аргумент с 1.
Аргумент логарифма - \( x = 4,5 \).
Сравниваем: \( 4,5 > 1 \).
Шаг 3: Используем свойство возрастающей функции.
Для возрастающей логарифмической функции \( y = \log_a x \) (\( a > 1 \)):
Если \( x > 1 \), то \( y > 0 \) (положительное число).
Если \( 0 < x < 1 \), то \( y < 0 \) (отрицательное число).
Так как \( 4,5 > 1 \), то \( \log_3 4,5 > 0 \).
Ответ: Число \( \log_3 4,5 \) является положительным.
2)
\( \log_{0,3} 0,45 \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание и тип функции.
Основание логарифма - \( a = 0,3 \). Так как \( 0 < 0,3 < 1 \), логарифмическая функция \( y = \log_{0,3} x \) является убывающей.
Шаг 2: Сравниваем аргумент с 1.
Аргумент логарифма - \( x = 0,45 \).
Сравниваем: \( 0 < 0,45 < 1 \).
Шаг 3: Используем свойство убывающей функции.
Для убывающей логарифмической функции \( y = \log_a x \) (\( 0 < a < 1 \)):
Если \( x > 1 \), то \( y < 0 \) (отрицательное число).
Если \( 0 < x < 1 \), то \( y > 0 \) (положительное число).
Так как \( 0 < 0,45 < 1 \), то \( \log_{0,3} 0,45 > 0 \).
Ответ: Число \( \log_{0,3} 0,45 \) является положительным.
3)
\( \log_5 25,3 \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание и тип функции.
Основание логарифма - \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), логарифмическая функция \( y = \log_5 x \) является возрастающей.
Шаг 2: Сравниваем аргумент с 1.
Аргумент логарифма - \( x = 25,3 \).
Сравниваем: \( 25,3 > 1 \).
Шаг 3: Используем свойство возрастающей функции.
Так как \( a = 5 > 1 \) и \( x = 25,3 > 1 \), то \( \log_5 25,3 > 0 \).
Ответ: Число \( \log_5 25,3 \) является положительным.
4)
\( \log_{0,5} 9,6 \)
Ответ
Шаг 1: Определяем основание и тип функции.
Основание логарифма - \( a = 0,5 \). Так как \( 0 < 0,5 < 1 \), логарифмическая функция \( y = \log_{0,5} x \) является убывающей.
Шаг 2: Сравниваем аргумент с 1.
Аргумент логарифма - \( x = 9,6 \).
Сравниваем: \( 9,6 > 1 \).
Шаг 3: Используем свойство убывающей функции.
Так как \( 0 < a = 0,5 < 1 \) и \( x = 9,6 > 1 \), то \( \log_{0,5} 9,6 < 0 \).
Ответ: Число \( \log_{0,5} 9,6 \) является отрицательным.
Что применять при решении
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
