ГДЗ: Упражнение 333 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
При \( x \to +\infty \), \( \sqrt{x} \) растет медленнее, чем \( x \), но быстрее, чем \( \lg x \).
Вблизи \( x=1 \), \( \lg x \) проходит через 0, а \( \sqrt{x} \approx 1 \).
В точке \( x \approx 1,379 \) функции пересекаются. Проверим: \( \lg 1,379 \approx 0,14 \), \( \sqrt{1,379} \approx 1,17 \).
Построение графиков показывает, что \( \sqrt{x} \) растет значительно быстрее, чем \( \lg x \), и графики не пересекаются, кроме как, возможно, вблизи 1. Но \( \sqrt{x} \geq \lg x \) для всех \( x \geq 1 \).
Поскольку \( \sqrt{x} \) - возрастающая функция, а \( \lg x \) - возрастающая, но \( \sqrt{x} \) растет быстрее, можно попробовать найти точки, где \( \lg x = \sqrt{x} \).
Вывод: На графике видно, что при \( x \geq 1 \) график \( y = \sqrt{x} \) всегда лежит выше графика \( y = \lg x \). Уравнение не имеет решений.
Ответ: Уравнение не имеет решений.
4)
\( \lg x = 2^{-x} \)
Ответ
Шаг 1: Определяем функции.
Функция 1 (логарифмическая): \( y_1 = \lg x \).
Область определения: \( x > 0 \).
График возрастающий, проходит через \( (1; 0) \).
Функция 2 (показательная): \( y_2 = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x \).
График убывающий, проходит через \( (0; 1) \), \( (1; \frac{1}{2}) \).
Шаг 2: Находим точку пересечения.
Построим графики. Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, графики могут иметь не более одной точки пересечения.
Проверим точку \( x = 1 \):
Подставим \( x = 1 \) в \( y_1 \): \( y_1 = \lg 1 = 0 \).
Подставим \( x = 1 \) в \( y_2 \): \( y_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5 \).
В точке \( x = 1 \): \( y_1 < y_2 \) (\( 0 < 0,5 \)).
Проверим точку \( x = 2 \):
Подставим \( x = 2 \) в \( y_1 \): \( y_1 = \lg 2 \approx 0,3 \).
Подставим \( x = 2 \) в \( y_2 \): \( y_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0,25 \).
В точке \( x = 2 \): \( y_1 > y_2 \) (\( 0,3 > 0,25 \)).
Поскольку \( y_1 \) возрастает, \( y_2 \) убывает, и знак разности \( y_1 - y_2 \) меняется с отрицательного на положительный между \( x = 1 \) и \( x = 2 \), корень находится в интервале \( (1; 2) \).
На графике видно, что существует единственная точка пересечения, лежащая между 1 и 2. Приближенное значение корня \( x \approx 1,76 \).
Ответ: Уравнение имеет единственное решение \( x \in (1; 2) \), \( x \approx 1,76 \).
Что применять при решении
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
