ГДЗ: Упражнение 325 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Определяем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть положительным: \( x > 0 \).
Шаг 2: Определяем основание и тип функции.
Основание логарифма \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), логарифмическая функция \( y = \log_5 x \) является возрастающей.
Шаг 3: Решаем неравенство.
Для возрастающей функции знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: \( \log_5 x > \log_5 3 \Rightarrow x > 3 \).
Шаг 4: Учитываем ОДЗ.
Пересечение условия \( x > 3 \) с ОДЗ \( x > 0 \) дает \( x > 3 \).
Ответ: \( x > 3 \).
2)
\( \log_{\frac{1}{5}} x < \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5} \)
Ответ
Шаг 1: Определяем ОДЗ.
Аргумент логарифма должен быть положительным: \( x > 0 \).
Шаг 2: Определяем основание и тип функции.
Основание логарифма \( a = \frac{1}{5} \). Так как \( 0 < \frac{1}{5} < 1 \), логарифмическая функция \( y = \log_{\frac{1}{5}} x \) является убывающей.
Шаг 3: Решаем неравенство.
Для убывающей функции знак неравенства меняется на противоположный при переходе к аргументам: \( \log_{\frac{1}{5}} x < \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5} \Rightarrow x > \frac{1}{5} \).
Шаг 4: Учитываем ОДЗ.
Пересечение условия \( x > \frac{1}{5} \) с ОДЗ \( x > 0 \) дает \( x > \frac{1}{5} \).
Ответ: \( x > \frac{1}{5} \).
3)
\( \lg x < \lg 4 \)
Ответ
Шаг 1: Определяем ОДЗ.
Аргумент логарифма должен быть положительным: \( x > 0 \).
Шаг 2: Определяем основание и тип функции.
Основание логарифма \( a = 10 \) (десятичный логарифм). Так как \( 10 > 1 \), функция возрастающая.
Шаг 3: Решаем неравенство.
Для возрастающей функции знак неравенства сохраняется: \( \lg x < \lg 4 \Rightarrow x < 4 \).
Шаг 4: Учитываем ОДЗ.
Пересечение условия \( x < 4 \) с ОДЗ \( x > 0 \) дает \( 0 < x < 4 \).
Ответ: \( 0 < x < 4 \).
4)
\( \ln x > \ln 0,5 \)
Ответ
Шаг 1: Определяем ОДЗ.
Аргумент логарифма должен быть положительным: \( x > 0 \).
Шаг 2: Определяем основание и тип функции.
Основание логарифма \( a = e \) (натуральный логарифм). Так как \( e \approx 2,718 > 1 \), функция возрастающая.
Шаг 3: Решаем неравенство.
Для возрастающей функции знак неравенства сохраняется: \( \ln x > \ln 0,5 \Rightarrow x > 0,5 \).
Шаг 4: Учитываем ОДЗ.
Пересечение условия \( x > 0,5 \) с ОДЗ \( x > 0 \) дает \( x > 0,5 \).
Ответ: \( x > 0,5 \).
Что применять при решении
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
