ГДЗ: Упражнение 332 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Построить график функции, найти ее область определения и множество значений:
1)
\( y = \log_3 x - 1 \)
Ответ
Шаг 1: Построение графика.
График функции \( y = \log_3 x - 1 \) получается из графика \( y = \log_3 x \) сдвигом вниз на 1 единицу.
График \( y = \log_3 x \): Проходит через \( (1; 0) \), \( (3; 1) \), \( (\frac{1}{3}; -1) \). Асимптота \( x = 0 \).
График \( y = \log_3 x - 1 \):
Точка \( (1; 0) \) переходит в \( (1; 0 - 1) = (1; -1) \).
Точка \( (3; 1) \) переходит в \( (3; 1 - 1) = (3; 0) \).
Точка \( (9; 2) \) переходит в \( (9; 2 - 1) = (9; 1) \).
Асимптота остается \( x = 0 \).
Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).
Аргумент логарифма: \( x \). Должен быть \( x > 0 \).
\[ D(y) = (0; +\infty) \]
Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).
Множество значений для \( \log_3 x \) - это \( \mathbf{R} \). Сдвиг на 1 не меняет множества значений.
\[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]
2)
\( y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) \)
Ответ
Шаг 1: Построение графика.
График функции \( y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) \) получается из графика \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \) сдвигом влево на 1 единицу.
График \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \): Убывающая, проходит через \( (1; 0) \), \( (\frac{1}{2}; 1) \). Асимптота \( x = 0 \).
График \( y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) \):
Точка \( (1; 0) \) переходит в \( (1 - 1; 0) = (0; 0) \) (график проходит через начало координат).
Точка \( (\frac{1}{2}; 1) \) переходит в \( (\frac{1}{2} - 1; 1) = (-\frac{1}{2}; 1) \).
Вертикальная асимптота \( x = 0 \) переходит в \( x = 0 - 1 \) или \( x = -1 \).
Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).
Аргумент логарифма: \( x + 1 \). Должен быть \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \).
\[ D(y) = (-1; +\infty) \]
Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).
Множество значений для \( \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) \) - это \( \mathbf{R} \). Горизонтальный сдвиг не меняет множества значений.
\[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]
3)
\( y = 1 + \log_3 x \)
Ответ
Шаг 1: Построение графика.
Функция \( y = 1 + \log_3 x \) эквивалентна \( y = \log_3 x + 1 \). График получается из \( y = \log_3 x \) сдвигом вверх на 1 единицу.
Это идентично варианту 1, только сдвиг в противоположную сторону.
График \( y = \log_3 x + 1 \):
Точка \( (1; 0) \) переходит в \( (1; 0 + 1) = (1; 1) \).
Точка \( (3; 1) \) переходит в \( (3; 1 + 1) = (3; 2) \).
Точка \( (\frac{1}{3}; -1) \) переходит в \( (\frac{1}{3}; -1 + 1) = (\frac{1}{3}; 0) \).
Асимптота остается \( x = 0 \).
Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).
Аргумент логарифма: \( x \). Должен быть \( x > 0 \).
\[ D(y) = (0; +\infty) \]
Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).
\[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]
4)
\( y = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \)
Ответ
Шаг 1: Построение графика.
График функции \( y = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \) получается из графика \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \) сдвигом вправо на 1 единицу.
График \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \): Убывающая, проходит через \( (1; 0) \), \( (3; -1) \). Асимптота \( x = 0 \).
График \( y = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \):
Точка \( (1; 0) \) переходит в \( (1 + 1; 0) = (2; 0) \).
Точка \( (3; -1) \) переходит в \( (3 + 1; -1) = (4; -1) \).
Вертикальная асимптота \( x = 0 \) переходит в \( x = 0 + 1 \) или \( x = 1 \).
Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).
Аргумент логарифма: \( x - 1 \). Должен быть \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \).
\[ D(y) = (1; +\infty) \]
Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).
\[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]
Что применять при решении
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
