ГДЗ: Упражнение 329 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Доказать, что функция \( y = \log_2 (x^2 - 1) \) возрастает на промежутке \( (1; +\infty) \).
1)
Ответ
Шаг 1: Проверяем область определения.
Функция определена при \( x^2 - 1 > 0 \), то есть \( (x - 1)(x + 1) > 0 \).
Это выполняется при \( x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \).
Промежуток \( (1; +\infty) \) входит в ОДЗ.
Шаг 2: Анализируем монотонность внутренней функции.
Внутренняя функция: \( u(x) = x^2 - 1 \).
Рассмотрим производную \( u'(x) = 2x \).
На промежутке \( (1; +\infty) \) (т.е. для \( x > 1 \)) производная \( u'(x) = 2x > 0 \).
Следовательно, функция \( u(x) = x^2 - 1 \) возрастает на промежутке \( (1; +\infty) \).
Шаг 3: Анализируем монотонность внешней функции.
Внешняя функция: \( f(u) = \log_2 u \).
Основание логарифма \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция \( f(u) = \log_2 u \) является возрастающей.
Шаг 4: Применяем правило о монотонности сложной функции.
Если сложная функция \( y = f(u(x)) \) состоит из двух возрастающих функций (\( u(x) \) - возрастает, \( f(u) \) - возрастает), то сама сложная функция \( y \) является возрастающей.
Поскольку \( u(x) = x^2 - 1 \) возрастает на \( (1; +\infty) \) и \( f(u) = \log_2 u \) возрастает на всей своей области определения \( (0; +\infty) \), то функция \( y = \log_2 (x^2 - 1) \) возрастает на промежутке \( (1; +\infty) \).
Доказано.
Что применять при решении
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
