ГДЗ: Упражнение 331 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( x^2 - 3x - 4 > 0 \).

Шаг 2: Решаем квадратное неравенство.

• Находим корни уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) по формуле Виета (сумма корней 3, произведение -4): \[ x_1 = -1, \quad x_2 = 4 \]
• Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( 1 > 0 \)), парабола направлена ветвями вверх. Неравенство \( > 0 \) выполняется вне корней.

Шаг 3: Записываем интервалы.

• \[ x < -1 \text{ или } x > 4 \]

Ответ: Область определения: \( (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \).

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( -x^2 + 5x + 6 > 0 \).

Шаг 2: Решаем квадратное неравенство.

• Умножим на -1, поменяв знак неравенства: \( x^2 - 5x - 6 < 0 \).
• Находим корни уравнения \( x^2 - 5x - 6 = 0 \) по формуле Виета (сумма корней 5, произведение -6): \[ x_1 = -1, \quad x_2 = 6 \]
• Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( 1 > 0 \)), парабола направлена ветвями вверх. Неравенство \( < 0 \) выполняется между корнями.

Шаг 3: Записываем интервал.

• \[ -1 < x < 6 \]

Ответ: Область определения: \( (-1; 6) \).

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( \frac{x^2 - 9}{x + 5} > 0 \).
• Знаменатель не равен нулю: \( x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5 \).

Шаг 2: Решаем неравенство методом интервалов.

• Раскладываем числитель: \( \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 5} > 0 \).
• Нули числителя: \( x = 3, x = -3 \). Нуль знаменателя: \( x = -5 \).
• Отмечаем точки \(-5\), \(-3\), \(3\) на числовой прямой и определяем знаки на интервалах.
• Проверяем знак, например, при \( x = 4 \): \( \frac{(4 - 3)(4 + 3)}{4 + 5} = \frac{1 \cdot 7}{9} > 0 \) (\( + \)).
• Интервалы знаков (справа налево, чередуются): \( (+, -, +, -) \).
• Неравенство \( > 0 \) выполняется на интервалах: \( (-5; -3) \) и \( (3; +\infty) \).

Ответ: Область определения: \( (-5; -3) \cup (3; +\infty) \).

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( \frac{x - 4}{x^2 + 4} > 0 \).

Шаг 2: Решаем неравенство.

• Анализируем знаменатель: \( x^2 + 4 \). Так как \( x^2 \geq 0 \), то \( x^2 + 4 > 0 \) для всех действительных \( x \).
• Поскольку знаменатель всегда положительный, знак дроби определяется знаком числителя: \[ x - 4 > 0 \] \[ x > 4 \]

Ответ: Область определения: \( x > 4 \) или \( (4; +\infty) \).

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( 2^x - 2 > 0 \).

Шаг 2: Решаем показательное неравенство.

• \[ 2^x - 2 > 0 \] \[ 2^x > 2 \] \[ 2^x > 2^1 \]
• Так как основание \( 2 > 1 \), функция \( y = 2^x \) возрастающая, знак неравенства сохраняется при сравнении показателей: \[ x > 1 \]

Ответ: Область определения: \( x > 1 \) или \( (1; +\infty) \).

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( 3^x - 1 - 9 > 0 \).

Шаг 2: Решаем показательное неравенство.

• Упрощаем: \( 3^x - 10 > 0 \Rightarrow 3^x > 10 \).
• Представим 10 как степень тройки, используя логарифм по основанию 3: \( 10 = 3^{\log_3 10} \). \[ 3^x > 3^{\log_3 10} \]
• Так как основание \( 3 > 1 \), функция \( y = 3^x \) возрастающая, знак неравенства сохраняется при сравнении показателей: \[ x > \log_3 10 \]

Ответ: Область определения: \( x > \log_3 10 \) или \( (\log_3 10; +\infty) \).